Month: February 2023

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

भूमिका :
इस अध्याय में, हम कुछ प्रतिरूपों का अध्ययन करेंगे जिनमें उत्तरोत्तर पद अपने पहले पदों में एक स्थिर संख्या जोड़ने पर प्राप्त किए जाते हैं। हम यह भी देखेंगे कि किस प्रकार उनके n वें पद और n पदों का योग ज्ञात किया जाता है और इस ज्ञान का उपयोग दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।
(1) पद (Terms) : अनुक्रम में उपस्थित विभिन्न संख्याएँ इसके पद कहलाती हैं।
(2) सार्वअन्तर (Common difference) : समान्तर श्रेढी के किन्हीं दो क्रमागत पदों का अन्तर सार्वअन्तर कहलाता है।
(3) सीमित समान्तर श्रेढी (Finite A. P.) : एक समान्तर श्रेढी जिसमें पदों की संख्या सीमित हो, सीमित समान्तर श्रेढी कहलाती हैं।
(4) असीमित समान्तर श्रेढी (Infinite A. P.) : एक समान्तर श्रेढी जिसमें पदों की संख्या असीमित हो, असीमित समान्तर श्रेढी कहलाती है।
(5) व्यापक पद (General Term) : प्रथम पद a और सार्वअन्तर d वाली A. P का nवाँ पद व्यापक पद कहलाता a_n या l से निरूपित किया जाता है।
सूत्र a_n = a + (n – 1)d

अनुक्रम (Sequence)- संख्याओं (राशियों) के एक निश्चित नियमानुसार क्रम को अनुक्रम कहते हैं।
जैसे: (i) 2, 4, 6, 8, 10, ……….. इस क्रम में प्रत्येक संख्या (पहली संख्या को छोड़कर) अपनी पूर्व की संख्या से 2 अधिक है।
(ii) -3, -2, -1, 0, ……….. इस क्रम में प्रत्येक पद, अपने पिछले पद से 1 अधिक है।
(iii) 3, 3, 3, 3, 3, ……….. इस क्रम में प्रत्येक पद, अपने पिछले पद से 0 अधिक या 0 कम है।
(iv) 5, 7, 2, 9, 15, ……….. इस क्रम में कोई निश्चित क्रम नहीं है जिससे कि उसकी आगे की संख्याएँ ज्ञात की जा सकें।

समान्तर श्रेढ़ियाँ :
समान्तर श्रेढी संख्याओं का एक ऐसा क्रम होता है जिसमें पहले पद के अतिरिक्त प्रत्येक पद पिछली संख्या में एक स्थिर संख्या जोड़ने पर प्राप्त किया जाता है। इस स्थिर संख्या को समान्तर श्रेढी का सार्वअन्तर कहते हैं। यह संख्या धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती है।
समान्तर श्रेढी के पहले पद को a₁ से, दूसरे पद को a₂ से, ……., nवें पद को a_n से और सार्वअन्तर को d से व्यक्त करते हैं, तब श्रेढी a₁, a₂, a₃, ………. , a_n हो जाती है।
अब, a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = ………. = a_n – a_{n – 1} = d
⇒ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ………..
यह अनुक्रम एक समान्तर श्रेढी (A.P.) को निरूपित करता है जिसमें प्रथम पद ‘a’ और सार्वअन्तर d है। इसे समान्तर शेष का व्यापक रूप कहते हैं।
सामान्यतः, प्रथम पद को a₁, t₁, x₁ आदि से प्रकट किया जाता है, दूसरे पद को a₂, t₂, x₂ आदि से प्रकट किया जाता है। व्यापक रूप से n वें पद को a_n, t_n, x_n आदि से प्रकट किया जाता है।

समान्तर श्रेढी का nवाँ पद :
माना कि a₁, a₂, a₃, …….., a_n एक समान्तर श्रेढी है जिसका प्रथम पद a₁ = a, और सार्वअन्तर d है।
⇒ a₁ = a + (1 – 1)d
तब दूसरा पद a₂ = a + d
⇒ a₂ = a + (2 – 1) d
इसी प्रकार, तीसरा पद a₃ = a₂ + d
⇒ a₃ = (a + d) + d
= a + 2d = a + (3 – 1)d
चौथा पद a₄ = a₃ + d = (a + 2d) + d
= a + 3d = a + (4 – 1)d
इस प्रतिरूप को देखते हुए हम कह सकते हैं कि nवाँ पद (a_n) = a + (n – 1) d होगा। अर्थात्
समान्तर श्रेढी का व्यापक पद = प्रथम पद + (पदों की संख्या – 1) × सार्वअन्तर
a_n को A.P का व्यापक पद भी कहते हैं। यदि किसी A. P. में m पद हों तो a_m इसके अन्तिम पद निरूपित करता है जिसे कभी-कभी l द्वारा भी व्यक्त किया जाता है।

समान्तर श्रेढी के n पदों का योगफल :
प्रमेय : यदि एक समान्तर श्रेढी का प्रथम पद a, सार्वअन्तर d तथा पदों का योगफल S_n है, तो
S_n = \(\frac{n}{2}\){2a + (n – 1) d}
या S_n = \(\frac{n}{2}\) (a + 1)
जहाँ l = अन्तिम पद = a + (n – 1)d
प्रमाण : माना कि A.P. के n पद हैं:
a, a + d, a + 2d, …… a + (n – 1)d
इस A. P. का nवाँ पद a + (n – 1)d है तथा A. P. के प्रथम n पदों के योग को S_n द्वारा व्यक्त करते हैं।
S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + [a + (- 1)d] …. (1)
पदों को विपरीत क्रम में लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं:
S_n = [a + (n – 1)d] + [a + (n – 2)d] + …….. + (a + d) + a …… (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता हैं:
2S_n = {2a + (n – 1)d} + {2a + (n – 1)d} + …… + {2a + (n – 1)d }
⇒ 2S_n = n[2a + (n – 1)d]
⇒ S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
इसे हम इस रूप में भी लिख सकते हैं:
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + a + (n – 1)d]
अर्थात् S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + a_n) …..(3)
∵ a_n = l, अन्तिम पद है।
समीकरण (3), से S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l) …..(4)
इस सूत्र की सहायता से जब प्रथम पद और अन्तिम पद दिया हो और सार्वअन्तर नहीं दिया हो, तो S_n का मान ज्ञात कर सकते हैं।

टिप्पणी 1. सूत्र S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d ] में चार राशियाँ S_n, a, n और d हैं। यदि इनमें से कोई भी तीन ज्ञात हों तो शेष चौथी राशि को उपर्युक्त सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है।
कभी-कभी इनमें से दो राशियाँ ज्ञात होती हैं ऐसी स्थिति में शेष दोनों राशियाँ किसी दूसरे सम्बन्ध से ज्ञात की जा सकती हैं।
टिप्पणी 2. यदि किसी अनुक्रम के n पदों का योग S_n दिया हो तो निम्नलिखित सूत्र से अनुक्रम का nवाँ पद (a_n) ज्ञात किया जा सकता है:
a_n = S_n – S_{n – 1}

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Important Questions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10th Maths Important Questions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

लघुत्तरात्मक / निबन्धात्मक प्रश्न :

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक 3 से विभाज्य है।
हल :
माना कि n, n + 1, n + 2 तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं।
∵ हम जानते हैं कि n, 3q या 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का होता है।
∴ निम्नलिखित तीन स्थितियाँ सम्भव हैं।
स्थिति 1. जब n = 3q, जो कि 3 से विभाज्य है।
n + 1 = 3q + 1, 3 से विभाज्य नहीं है।
n + 2 = 3q + 2, 3 से विभाज्य नहीं है।
इस स्थिति में n, 3 से विभाज्य है परन्तु n + 1 और n + 2, 3 से विभाज्य नहीं हैं।
स्थिति 2. जब n = 3q + 1
इस स्थिति में n + 2 = 3q + 1 + 2 = 3(q + 1) जो कि 3 से विभाज्य है परन्तु तथा n + 1, 3 से विभाज्य नहीं है।
स्थिति 3. जब n = 3q + 2
इस स्थिति में n + 1 = 3q + 1 + 2 = 3(q + 1), 3 से
विभाज्य है परन्तु n या n + 2, 3 से विभाज्य नहीं है।
अत: n, n + 1 तथा n + 2 में से एक 3 से विभाज्य है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या
हल :
माना कि \(\sqrt{3}\) एक परिमेय संख्या है।
हम ऐसी सह अभाज्य (Co-prime) संख्याएँ a और b ज्ञात करते हैं कि
\(\sqrt{3}\) = \(\frac{a}{b}\) [जहाँ b ≠ 0]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
3 = \(\frac{a^2}{b^2}\)
⇒ a² = 3b²
अतः 3, a² को विभाजित करता हैं
⇒ 3, a को विभाजित करेगा।
माना कि a = 3c (जहाँ c कोई पूर्णांक है)
⇒ a² = 9c²
⇒ 3b² = 9c² [∵ a² = 3b²]
⇒ b² = 3c²
अत: 3, b² को विभाजित करता है।
⇒ 3, b को विभाजित करेगा।
अतः a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 3 है।
परन्तु यह इस तथ्य का विरोध करता है कि a और b में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। अतः हमारी परिकल्पना गलत है।
अतः \(\sqrt{3}\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम् ।

प्रश्न 3.
संख्याओं 180, 72 व 252 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।
हल :
संख्याओं के गुणनखण्ड करने पर

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा पूर्णांक 375 और 675 का HCF ज्ञात कीजिए।
हल :
अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा

375 = 3 × 5 × 5 × 5 = 3 × 5³
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 3³ × 5²
अंतः म. स. 3 × 5² = 3 × 25 = 75

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए \(\sqrt{6}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल :
माना \(\sqrt{6}\) एक परिमेय संख्या है।
∴ हम दो पूर्णांक r और s ऐसे ज्ञात कर सकते हैं कि हो तथा s ≠ 0 हो। यहाँ और सह अभाज्य हैं, अर्थात् इनमें 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।
अब \(\sqrt{6}\) = \(\frac{r}{s}\)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
6 = \(\frac{r^2}{s^2}\)
⇒ 6s² = r²
⇒ s² = \(\frac{r^2}{6}\)
⇒ 6, r² को विभाजित करता है।
⇒ इसलिए 6, r को भी विभाजित करता है।
⇒ 6, r का एक गुणनखण्ड है। ………..(A)
माना r = 6m
⇒ 6s² = (6m)²
⇒ 6s² = 36m²
⇒ s² = 6m²
⇒ m² = \(\frac{s^2}{6}\)
⇒ 6, s² को विभाजित करता है।
⇒ इसलिए 6, s को भी विभाजित करता है।
⇒ 6, s का एक गुणनखण्ड है। …(B)
समीकरण (A) और (B) अवलोकन करने पर हम पाते हैं कि r और s में 1 के अतिरिक्त एक अन्य उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 6 है। परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि r और s में 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। इसका तात्पर्य है कि हमने एक त्रुटिपूर्ण कल्पना की थी।
अत: \(\sqrt{6}\) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 6.
दो पूर्णांक संख्याओं का HCF व LCM क्रमशः 12 और 36 हैं, यदि एक पूर्णांक 48 है, तो दूसरा पूर्णांक ज्ञात कीजिए। (मा. शि. बो. राज. 2017 )
हल :
दिया है, HCF = 12, LCM = 336, एक पूर्णांक संख्या = 48
∴ HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या
⇒ 12 × 36 = 48 × दूसरी संख्या
अतः दूसरी संख्या = \(\frac{12 \times 36}{48}\) = 9

प्रश्न 7.
किसी परेड़ में 612 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 48 सदस्यों वाले एक बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं, क्या है?
हल :
स्तम्भों में अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए में 612 और 48 का म.स. ज्ञात करना है।

∴ म. स. (612, 48) = 12
अतः अधिकतम स्तम्भों की संख्या 12 है।

प्रश्न 8.
वह सबसे छोटी संख्या लिखिए जो 306 तथा 657 से पूर्णतया विभाजित हो ।
हल :
सबसे छोटी संख्या जो 306 और 657 दोनों से पूर्णतया विभाजित होगी वह है :
ल. स. (657, 306)
657 = 3 × 3 × 73
306 = 3 × 3 × 2 × 17
अत: ल. स. (657, 306) = 3 × 3 × 73 × 2 × 17
= 22338

प्रश्न 9.
\(\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{3}\) के बीच में स्थित एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\sqrt{2}\) = 1.414
\(\sqrt{3}\) = 1.732
\(\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{3}\) के बीच परिमेय संख्या है,
= 1.5 (∵ 1.414 < 1.5 < 1.732)

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि प्रत्येक विषम धनपूर्णांक (4q + 1) अथवा (4q + 3) के रूप का होता है, वहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल :
मान लीजिए कि ‘a’ एक विषम धन पूर्णांक है तथा b = 4 है।
a तथा b में विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
a = bq + r, r < b
∴ a = 4q + r
∵ 0 ≤ r ≤ 4 इसलिए संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3 हैं।
∵ a = 4q, 4q + 1, 4q + 2, 4q + 3; जहाँ q भागफल है।
∵ a एक विषम धन पूर्णांक 4q + 1, 4q + 3 के प्रकार का होगा।

प्रश्न 11.
दो धनपूर्णांक a तथा b जहाँ a = x³y² तथा b = xy³ के रूप में लिखे जा सकते हैं, जहाँ x, y अभाज्य संख्याएँ हैं, तो ल.स. (LCM) (a, b) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है, a = x²y², b = xy³, और
म. स. (HCF) = xy²
∵ म. स. × ल. स. = a × b
xy² × ल. स. = x³y² × xy³

प्रश्न 12.
छोटी से छोटी अभाज्य संख्या तथा छोटी-से-छोटी भाज्य संख्या का म.स. (HCF) क्या है?
हल :
छोटी से छोटी अभाज्य संख्या = 2 तथा छोटी से
भाज्य संख्या = 4

अत: म. स. (HCF) = 2

प्रश्न 13.
404 तथा 96 का म. स. (HCF) तथा ल. स. (LCM) ज्ञात कीजिए तथा निम्न का सत्यापन कीजिए :
HCF × LCM = दोनों दी गई संख्याओं का गुणनफल
इल :
404 व 96 के अभाज्य गुणनखण्ड :

404 = 2 × 2 × 101 × 1
96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 1
म. स. = 2 × 2 × 1 = 4
ल. स. = 2 × 2 × 101 × 2 × 2 × 2 × 3
= 9696
सत्यापन:
∵ HCF × LCM – दोनों दी गई संख्याओं का गुणनफल
⇒ 4 × 9696 = 404 × 96
⇒ 38784 = 38784
अतः दिया कथन सत्यापित हुआ। इति सिद्धम्

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

प्रश्न (क)

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पूर्णांकों की ……………. के संबंध में है।
2. वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो दिए हुए दो धनात्मक पूर्णांकों को पूर्णत: विभाजित कर देता है, संख्याओं का ………………… समापवर्तक कहलाता है।
3. सबसे छोटी भाज्य सम संख्या ………………… तथा सबसे छोटी भाग्य विषम संख्या …………………. है।
4. जिन संख्याओं का दशमलव प्रसार विभाजन प्रक्रिया के परिमित चरणों के बाद समाप्त हो जाता है ……………… दशमलव कहलाती है।
5. ऐसा दशमलव प्रसार जिसका अंत नहीं होता तथा भागफल में अंकों का एक पुनरावृत्ति खंड प्राप्त होता, …………… प्रसार कहलाता है।

हल :

1. विभाज्यता,
2. महत्तम,
3. 4, 9,
4. सांत,
5. असांत आवर्ती

निम्न में सत्य / असत्य कथन बताइए :

प्रश्न (ख)

1. प्रमेयिका एक सत्य कथन है, जिसका प्रयोग अन्य कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।
2. संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है।
3. दो या दो से अधिक संख्याओं का ल.स. वह छोटी से ‘छोटी संख्या होती है, जो दी गई संख्याओं से पूर्णतया विभाजित होती है।
4. असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली संख्याओं को परिमेय संख्या कहते हैं।
5. यदि किसी परिमेय संख्या को किसी अन्य शून्येत्तर परिमेय संख्या से भाग दिया जाए, तो प्राप्त संख्या हमेशा परिमेय होगी।

हल :

1. सत्य
2. सत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. सत्य

(ग) बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
दिया है, HCF (156, 78) = 78, तो LCM (156, 78) का मान है :
(A) 156
(B) 78
(C) 156 × 78
(D) 156 × 2
हल :
∵ HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल
⇒ 78 × LCM = 156 × 78
⇒ LCM = \(\frac{156 \times 78}{78}\) = 156
अत: सही विकल्प (A) है।

प्रश्न 2.
\(\frac{1095}{1168}\) का सरलतम रूप है :
(A) \(\frac{17}{26}\)
(B) \(\frac{25}{26}\)
(C) \(\frac{13}{26}\)
(D) \(\frac{15}{16}\)
हल :
1095 और 1168 का म. स. = 73

∴ सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 3.
निम्न में से कौन-सी परिमेय संख्या को सांत दशमलव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है?
(A) \(\frac{124}{165}\)
(B) \(\frac{131}{30}\)
(C) \(\frac{2027}{625}\)
(D) \(\frac{1625}{462}\)
हल :
\(\frac{124}{165}\) = \(\frac{124}{3^1 \times 5^1 \times 11^1}\)
गुणनखंड 2ⁿ × 5ⁿ के रूप में नहीं है।
\(\frac{131}{30}\) = \(\frac{131}{2^1 \times 3^1 \times 5^1}\)
गुणनखंड 2ⁿ × 5ⁿ के रूप में है।
\(\frac{2027}{625}\) = \(\frac{2027}{2^0 \times 5^4}\)
गुणनखंड 2ⁿ × 5ⁿ के रूप में नहीं है।
\(\frac{1625}{462}\) = \(\frac{1625}{2^1 \times 3^1 \times 7^1 \times 11^1}\)
गुणनखंड 2ⁿ × 5ⁿ के रूप में नहीं है।
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 4.
वह बड़ी से बड़ी संख्या, जिससे 245 तथा 1029 को भाग देने पर क्रमशः 5 एवं शेष बचे है:
(A) 15
(B) 60
(C) 9
(D) 5
हल :
∵ प्रत्येक स्थिती में 5 शेष बचता है।
∴ 245 – 5 = 240 तथा 1029 – 9 = 1020
अभीष्ट संख्या 240 और 1020 का म. स. है ।

∴ म.स. = 5
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 5.
225 को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
(A) 5 × 3².
(B) 5² × 3
(C) 5² × 3²
(D) 5 × 3
हल :
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से

∴ 225 = 3 × 3 × 5 × 5 = 3² × 5²
अत: सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 6.
\(2 . \overline{35}\) है एक :
(A) पूर्णांक
(B) परिमेय संख्या
(C) अपरिमेय संख्या
(D) प्राकृत संख्या
हल :
\(2 . \overline{35}\) का प्रसार असांत आवर्ती है।
∴ यह एक परिमेय संख्या है।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 7.
144 तथा 198 का महत्तम समापवर्तक है:
(A) 9
(B) 18
(C) 6
(D) 12
हल :

∴ म. स. = 18
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 8.
दो संख्याओं का म. स. 27 है तथा उनका ल.स. 162 है। यदि एक संख्या 54 है, तो दूसरी संख्या है :
(A) 36
(B) 35
(C) 9
(D) 81
हल :
∵ म. स. × ल. स. = पहली संख्या × दूसरी संख्या
⇒ 27 × 162 = 54 × दूसरी संख्या
⇒ दूसरी संख्या = \(\frac{27 \times 162}{54}\) = 81
अत: सही विकल्प (D) है।

प्रश्न 9.
2\(\sqrt{3}\) एक :
(A) पूर्णांक है
(B) परिमेय संख्या है
(C) अपरिमेय संख्या है
(D) एक पूर्ण संख्या है.
हल :
एक परिमेय संख्या (2) और अपरिमेय संख्या (\(\sqrt{3}\)) का गुणनफल एक अपरिमेय संख्या होती है। अत: सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 10.
संख्या \(\frac{3}{2^5 \times 5^2}\) का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों के बाद सांत होगा ?
(A) 2
(B) 4
(C) 5
(D) 1
हल :
यहाँ हर = 2⁵ × 5²
∴ दशमलव प्रसार 5 दशमलव स्थानों के बाद सांत होगा।
अतः सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 11.
एक अभाज्य संख्या के कुल गुणनखण्डों की संख्या है :
(A) 1
(B) 0
(C) 2
(D) 3
हल :
दो 1 और स्वयं वही संख्या।
अत: सही विकल्प (c) है।

प्रश्न 12.
12, 21, 15 का म. स. और ल. स. है:
(A) 3, 140
(B) 12,420
(C) 3, 420
(D) 420, 3
हल :
यहाँ,
12 = 2 × 2 × 3
21 = 3 × 7
15 = 3 × 5
∴ म. स. = 3
ल. स. = 22 × 3 × 5 × 7
= 420
अत: सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 13.
संख्या 196 के अभाज्य गुणनखण्ड में अभाज्य गुणनखण्डों की घातों का योग है :
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 2
हल :

196 = 2 × 2 × 7 × 7= 2² × 7²
घातों का योग = 2 + 2 = 4
अत: सही विकल्प (B) है।

प्रश्न 14.
यूक्लिड विभाजन प्रमेविका के अनुसार दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान है कि a = bq + r है तथा
(A) 0 < r < b
(B) 0 < r < b
(C) 0 ≤ r < b
(D) 0 ≤ r ≤ b
हल :
सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 15.
संख्या n² – 1, 8 से विभाज्य होती है, यदि n है एक:
(A) पूर्णांक
(B) प्राकृत संख्या
(C) विषम संख्या
(D) सम संख्या
हल :
सही विकल्प (C) है।

प्रश्न 16.
यदि 65 और 117 के H.C.F. को 65m – 117 रूप में व्यक्त किया जा सके, तो m का मान है :
(A) 4
(B) 2
(C) 1
(D) 3

हल :
65 = 5 × 13
117 = 3 × 3 × 13
H.C.F. = 13
⇒ 65m – 117 = 13
[∵ H.C.F. = 65m – 117]
⇒ 65m = 13 + 117
⇒ 65m = 130
⇒ m = \(\frac{130}{65}\) = 2
अत: सही विकल्प (B) है।

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

भूमिका :
द्विघात का शाब्दिक अर्थ वर्ग (square) है तथा द्विघातीय शब्द का आशय ‘वर्ग के समान’ से है। अतः वह समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (चर) की उच्चतम घात (Index) 2 हो, द्विघात अथवा वर्ग समीकरण कहलाती है। जब हम द्विघात बहुपद को शून्य के तुल्य कर देते हैं, तो हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होती है। जैसे- p(x) = ax² + bx + c; a ≠ 0. एक द्विघात बहुपद है। यदि p(x) = 0 कर दें, तो ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 द्विघात समीकरण कहलाती है।
(1) द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): वह बहुपद जिसकी घात 2 हो द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात का व्यापक रूप ax² + bx + c है। जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, a ≠ 0 तथा x एक चर है।
(2) समीकरण (Equation): किसी बहुपद को शून्य के बराबर करने से प्राप्त रैखिक व्यंजक को एक समीकरण कहते हैं। बराबर चिन्ह द्वारा इसे दो भागों में बाँटा जा सकता है। बायाँ पक्ष को L.H.S. तथा दायाँ पक्ष को R.H.S. कहते हैं।
उदाहरणार्थं- (i) x + 5 = 0 (रैखिक समीकरण)
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
(ii) 2y² + 3y + 4 = 0 (द्विघात समीकरण)
(3) समीकरण के मूल (Roots of an equation): एक वास्तविक संख्या (a), समीकरण P(x) = 0 का एक मूल कहलाती है। यदि P(a) = 0 यदि P(x) = 0 एक द्विघात समीकरण हो, तो बहुपद P(x) के शून्यक समीकरण P(x) = 0 के मूल कहलाते हैं।
(4) काल्पनिक मूल (Imaginary roots ) : यदि किसी समीकरण के मूल वास्तविक संख्याएँ न हों तो उन्हें हम काल्पनिक मूल कहेंगे।
(5) चाल = दूरी / समय
(6) दूरी = चाल × समय
(7) समय = दूरी / चाल

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) :
दो घात की बहुपदीय समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं व्यापक रूप में इसे इस प्रकार से व्यक्त किया जाता है, ax² + bx + c = 0; जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a≠ 0
व्यापक द्विघात समीकरण में x² का गुणांक a, x का गुणांक b तथा c स्वतन्त्र अचर होता है।
3x² + x – 2 = 0, x² – 2x + 1 = 0; 4x² + 4x + 1 = 0 आदि द्विघात समीकरण के कुछ उदाहरण हैं।

द्विघात समीकरण के मूल (Roots of a Quadratic Equation) : यदि संख्याएँ α और β द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक हों अर्थात् यदि संख्याएँ α तथा β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को सन्तुष्ट करती हों, तब c तथा द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए, द्विघाती बहुपद P(x) = x² – x – 2 में
x = 2 रखने पर, P(2) = (2)² – (2) – 2 = 4 – 2 – 2 = 4 – 4 = 0
x = – 1 रखने पर, P(-1) = (-1)² – (-1) – 2 = 1 + 1 – 2 = 0
∴ 2 और -1 बहुपद के शून्यक हैं।
अतः 2 और -1 द्विघात समीकरण x² – x – 2 = 0 के मूल कहलायेंगे।
टिप्पणी- (i) उपर्युक्त उदाहरण में 2 और -1 समीकरण x² – x – 2 = 0 के मूल हैं, शून्यक नहीं।
(ii) शून्यर्कों का सम्बन्ध बहुपद से होता है जबकि मूलों का सम्बन्ध समीकरण से होता है।

द्विघात समीकरण को हल करने की विधियाँ :
द्विघात समीकरण को निम्नलिखित तीन विधियों द्वारा हल अर्थात् मूल ज्ञात किये जाते हैं-
(i) गुणनखण्ड विधि,
(ii) पूर्ण वर्ग बनाकर,
(iii) श्रीधर आचार्य सूत्र विधि द्वारा।

गुणनखण्ड विधि द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करना :
(1) समीकरण को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि ‘=’ चिन्ह के दायीं ओर केवल शून्य तथा बाय और समीकरण के शेष सभी पद हों।
(2) बाई ओर के व्यंजक के रैखिक गुणनखण्ड प्राप्त करते हैं।
(3) अन्त में, प्रत्येक गुणनखण्ड को अलग-अलग शून्य के बराबर रखकर अज्ञात राशि के मान ज्ञात करते हैं जो समीकरण के अभीष्ट हल होते है।

पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण का हल :
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 को पूर्ण वर्ग बनाकर निम्नलिखित चरणों में हल किया जाता है:
(i) समीकरण में चर x सम्बन्धी सभी पदों को बाय ओर रखकर अचर पद को दायीं ओर रखते हैं।
(ii) x² के गुणांक (यदि कोई हों) से दोनों पक्षों को भाग करते हैं ताकि x² का गुणांक 1 (इकाई) बन जाए।
(iii) दोनों पक्षों में,
x के गुणांक के आधे का वर्ग अर्थात् जोड़ने पर बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन जाएगा।
(iv) अन्त में दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर के मान ज्ञात करते हैं।

द्विघात समीकरण का श्रीधराचार्य विधि द्वारा हल :
हिन्दू गणितज्ञ श्रीधराचार्य ने द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र दिया है। इसकी स्थापना एवं विवेचना आगे दी गई है।
माना समीकरण है : ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\)x + \(\frac{c}{a}\) = 0 (दोनों पक्षों में a का भाग देने पर)
⇒ x² + \(\frac{b}{a}\)x = –\(\frac{c}{a}\)
अब x के गुणांक (\(\frac{b}{a}\)) के आधे (\(\frac{b}{2 a}\)) के वर्ग (\(\frac{b}{2 a}\))² = \(\frac{b^2}{4 a^2}\) को समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

श्रीधराचार्य सूत्र की निम्न प्रकार से व्याख्या की जा सकती है :

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के इस सूत्र को द्विघाती सूत्र (Quadratic formula) कहते हैं।

मूलों की प्रकति :
विविक्तकर (Discriminant) राशि b² – 4ac द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 की विविक्तकर कहलाती है। इसे संकेत Δ या D द्वारा व्यक्त किया गया है।
अत: D = b² – 4ac;
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं।
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति : द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के विविक्तकर D = b² – 4ac के विभिन्न प्रकार के मानों के अनुरूप द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्न प्रकार प्रदर्शित की जा सकती है:
(i) यदि D = b² – 4ac > 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक एवं पृथक्-पृथक् होंगे, अर्थात् यदि α और β दो मूल हों तो α = \(\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
तथा β = \(\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
(ii) यदि D = b² – 4ac = 0 हो, तो समीकरण के मूल वास्तविक तथा समान होंगे अर्थात् α = \(-\frac{b}{2 a}\) = β
(iii) D = b² – 4ac < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे अर्थात् दोनों मूल काल्पनिक होंगे।
अर्थात् द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0; a ≠ 0 के मूलों की प्रकृति उसके विविक्तकर D = b² – 4ac के मान पर निम्नवत् निर्भर करती है-

विविक्तकर D = b2 – 4ac	मूलों की प्रकृति
धनात्मक तथा पूर्ण वर्ग	वास्तविक, परिमेय तथा भिन्न
धनात्मक (> 0)	वास्तविक, अपरिमेय तथा भिन्न
ऋणात्मक (< 0)	अधिकल्पित अर्थात् वास्तविक नहीं
शून्य (0)	वास्तविक परिमेय और समान

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

भूमिका :
हम पिछली कक्षाओं में सरल समीकरणों अर्थात् प्रथम घात ( रैखिक) तथा एक अज्ञात राशि (चर) के समीकरण का अध्ययन कर चुके हैं। व्यापक रूप में इन्हें ax + b = 0 या ax + b = c के द्वारा निरूपित किया जाता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं। a ≠ 0 तथा x चर है। हम यह भी जानते हैं कि ax + b = 0, a ≠ 0 का हल x = –\(\frac{b}{a}\) होता है तथा x = –\(\frac{b}{a}\) समीकरण ax + b = 0 का मूल (Root) कहलाता है।
इस अध्याय में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म को बीजगणितीय तथा आलेखीय विधियों से हल करेंगे।

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म :
समीकरण ax + by + c = 0 दो चरों वाले रैखिक समीकरण का व्यापक रूप कहलाता है जिसमें a, b, c वास्तविक संख्याएँ होती हैं तथा a ≠ 0, b ≠ 0. जैसे- 3x + 4y + 7 = 0, -5y + x = -2 तथा 2x + \(\frac{3}{11}\)y = 1 आदि दो चरों वाले रेखीय समीकरणों के कुछ उदाहरण हैं।
यदि समीकरण ax + by + c = 0 में a ≠ 0, b = 0 हो, तो यह समीकरण परिवर्तित होकर ax + c = 0 रूप ले लेती है जो कि एक घर में रैखिक समीकरण है। इसी प्रकार यदि तो ax + by + c = 0 परिवर्तित होकर by + c = 0 के रूप में आ जाती है जो कि पुनः एक चर y में रैखिक समीकरण है।
दो चरों में दो रैखिक समीकरण एक रैखिक समीकरणों का युग्म कहलाता है। ऐसे समीकरणों के युग्म को युगपत समीकरण भी कहते हैं।
a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 रैखिक समीकरण युग्म का सबसे व्यापक रूप है। जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि
a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0.

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का हल : दो चरों वाले रैखिक समीकरण को हल करने की दो विधियाँ हैं-
(i) लेखाचित्र विधि (Graphical Method),
(ii) बीजगणितीय विधि (Algebraic Method)

लेखाचित्र विधि (Graphical Method)
दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :
(i) सबसे पहले समीकरण युग्म का एक समीकरण लिखिए।
(ii) अब x का कोई पूर्णांक मान लेकर समीकरण में x के स्थान पर प्रतिस्थापित कर, चर y का मान निकाल लेते हैं।
(iii) यदि x का मान a तथा y का मान b प्राप्त होता है, तो एक बिन्दु (a, b) को ग्राफ पर अंकित करते हैं।
(iv) पुन: इसी प्रकार x का अन्य कोई दूसरा पूर्णांक समीकरण में प्रतिस्थापित कर y का मान निकाल लेते हैं।
(v) यदि अब x का मान c तथा y का मान d प्राप्त होता है तब बिन्दु (c, d) को ग्राफ पर अंकित करते हैं।
(vi) अब इन दोनों अंकित बिन्दुओं से ग्राफ पेपर पर आलेख खींचते हैं।
(vii) इस प्रकार पहले समीकरण का आलेख एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(viii) अब समीकरण युग्म का दूसरा समीकरण लेकर, ऊपर बताए गये बिन्दुओं के अनुसार दूसरे समीकरण का भी आलेख खींचते हैं।
(ix) दूसरे समीकरण का आलेख भी एक सरल रेखा प्राप्त होती है।
(x) ये दोनों सरल रेखाएँ परस्पर काटेंगी (Intersecting lines) या फिर समान्तर (Parallel lines) होंगी अथवा सम्पाती (Conincident lines) होंगी।

सम्पाती हो तो समीकरण युग्म के अनन्त (अपरिमित) सार्व हल प्राप्त होंगे-
इस प्रकार आलेखीय निरूपण निम्न प्रकार प्राप्त होता है-

रेखीय समीकरणों के संगत व असंगत युग्म :
संगत युग्म (Consistent pair) : यदि समीकरणों के निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0; a₂x + b₂y + c₂ = 0 के हल विद्यमान हैं, तो दिया गया समीकरण निकाय संगत निकाय कहलाता है।
संगत निकाय के निम्न दो प्रकार हैं :
(i) दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् अद्वितीय हल (Unique solution) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
(ii) दो सम्पाती रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् अनन्त हल (Infinitely many solutions) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
असंगत युग्म (Inconsistent pair) : जब समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0; a₂x + b₂y + c₂ = 0 का कोई भी हल विद्यमान नहीं होता तब वह निकाय असंगत निकाय कहलाता है।
(iii) दो समान्तर रेखाएँ निरूपित करेगा अर्थात् कोई हल नहीं (No solution) होते हैं।
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)

रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल में रेखाओं का व्यवहार :
दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय को निरूपित करने वाली रेखाओं के व्यवहार और हलों के होने या न होने का सार संक्षेप में निम्न प्रकार है-
(i) रेखाएँ केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करें, तो समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा। – संगत समीकरण युग्म ।
(ii) रेखाएँ समान्तर भी हो सकती हैं तो इस स्थिति में समीकरणों का कोई हल नहीं होगा। – असंगत समीकरण युग्म।
(iii) रेखाएँ सम्पाती हो सकती हैं, समीकरणों के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
आश्रित (संगत) समीकरण युग्म रेखाओं के सामान्य समीकरणों को इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं :
a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0
जहाँ a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं (a₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0, a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0)
(i) प्रतिच्छेद करें तो \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\); समीकरण: युग्म संगत होगा और उसका एक और केवल एक ही (अद्वितीय) हल होगा।
(ii) सम्पाती हों तो \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\); समीकरण युग्म संगत होगा और उसके अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
(iii) समान्तर हों तो \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\); समीकरण युग्म असंगत होगा और उसका कोई हल नहीं होगा।
किसी भी रेखाओं के युग्म के लिए विलोम भी सत्य है।

एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधि (Algebraic Method to Solve a Pair of Linear Equations in Two Variables) :
रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की तीन बीजीय विधियाँ हैं-
(1) प्रतिस्थापन विधि (Method of Substitution)
(2) विलोपन विधि (Method of Elimination)
(3) वज्रंगुणन विधि (Method of Cross multiplication)

प्रतिस्थापन विधि क्रियाविधि (Working Rule) :
चरण 1. किसी एक समीकरण से एक चर x को दूसरे चर के पदों के रूप में लिख लेते हैं।
चरण 2. y के पदों में प्राप्त x के इस मान को युग्म के शेष दूसरे समीकरण में x के स्थान पर प्रतिस्थापित करके y का मान निकाल सकते हैं।
चरण 3. y के इस मान को किसी एक समीकरण में प्रतिस्थापित कर x का मान निकाल सकते हैं।

निराकरण या विलोपन विधि (Elimination Method) :
इस विधि में एक चर का विलोपन करते हैं या उसे हटा देते हैं। यह विधि कभी-कभी प्रतिस्थापन विधि से अधिक सुविधाजनक रहती है।
गुणांकों को बराबर करके हल सर्वप्रथम हम दोनों युगपत् समीकरणों को ऐसे शून्येतर गुणांकों अर्थात् शून्य को छोड़कर अन्य गुणांकों से गुणा करके दोनों समीकरणों में एक अज्ञात राशि या y के गुणांक बराबर कर लेते हैं। अब दोनों समीकरणों को आवश्यकतानुसार जोड़कर या घटाकर समान गुणांकों वाली राशि को विलुप्त करते हैं। अब हमें एक अज्ञात राशि वाला समीकरण प्राप्त होता है जिसे हल करके अज्ञात राशि का मान ज्ञात करते हैं इस मान को किसी भी एक समीकरण में प्रतिस्थापित कर दूसरी अज्ञात राशि का मान ज्ञात कर लेते हैं।

वज्रगुणन विधि (Method of Cross Multiplication) :
इस विधि में दोनों समीकरणों को इस प्रकार लिख लेते हैं कि उनके दायें पक्ष में शून्य हो ।
माना समीकरण a₁x + b₁y + c₁ = 0.
तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0 हैं।
अब निम्न प्रकार लिखकर x और y के मान ज्ञात कर लेते हैं-
\(\frac{x}{b_1 c_2-b_2 c_1}=\frac{y}{c_1 a_2-c_2 a_1}=\frac{1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)
उपर्युक्त हल को स्मरणीय रूप में निम्न प्रकार लिखकर प्राप्त किया जा सकता है-

इस आरेख के अनुसार नीचे की ओर तीर वाली (↓) संख्याओं के गुणनफल में से ऊपर की ओर तीर वाली (↑) संख्याओं के गुणनफल को घटाकर लिखा जा सकता है।
अथवा
\(\frac{x}{b_1 c_2-b_2 c_1}=\frac{y}{c_1 a_2-c_2 a_1}=\frac{1}{a_1 b_2-a_2 b_1}\)

दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण :
यदि समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में नहीं है अर्थात् \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+c\) = 0 के रूप में है, तो इसे रैखिक समीकरण के रूप में निम्न प्रकार बदला जा सकता है :
माना \(\frac{1}{x}\) = P और \(\frac{1}{y}\) = q प्रतिस्थापित करने पर,
ap + bq + c = 0 प्रकार का रैखिक समीकरण बना कर हल करते हैं।

Students must go through these JAC Class 10 Science Notes Chapter 10 Light Reflection and Refraction to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Science Notes Chapter 10 Light Reflection and Refraction

→ Light: Light is an electromagnetic radiation, which produces the sensation of sight in our eyes.

• Light is a form of energy that travels in the form of waves.
• These waves do not require a material medium for their propagation. They are non-mechanical waves.
• These waves travel at a speed of 3 x 10⁸ m s^-1 in vacuum.
• The wavelength of visible light ranges from 4 x 10^-7m to 8 x 10^-7m.

→ Image: When a number of rays starting from a point on an object, after reflection or refraction, meet at another point or appear to meet (i.e., give illusion of meeting at another point), then the second point is called the image of the first point. A group of such rays of light is called a beam of light.

Ray of light: A straight-line path joining one point to another in the direction of propagation of light is known as a ray of light.

• The image formed is called a real image, if the rays actually meet after reflection or refraction. It can be obtained on a screen.
• If the rays do not meet actually at a point, but appear to meet, after reflection or refraction, then the image is called a virtual image. It cannot be obtained on a screen.
• When a parallel beam of light is incident on a shining plane or smooth surface, the beam remains parallel after reflection in a specific direction. Such a reflection is called regular reflection.
• Example: the reflection of light by a plane mirror.
• In case of irregular reflection, the reflected beam of light does not remain parallel in specific direction but spreads over a wide region.
• Example : reflection from a book, a table, a chair, etc.

→ Laws of reflection:

• The angle of incidence is equal to the angle of reflection, i.e., i = r.
• The incident ray, the normal to the mirror at a point of incidence and the reflected ray, all lie in the same plane.

→ Image formation by a plane mirror:

• The image formed by a plane mirror is always virtual and erect.
• The image formed is as far behind the mirror, as the object is in front of it.
• The size of the image is equal to that of the object.
• The image formed is laterally inverted, i.e., the left side of the object seems to be the right side of the image and vice versa.

(The phenomenon, by which the left side of the object becomes the right side of the image and right side of the object becomes the left side of the image, is called lateral inversion.)

→ Spherical mirrors: A mirror whose reflecting surface is a part of a hollow sphere is called a spherical mirror. The reflecting surface of a spherical mirror is curved inwards or outwards.
The curved mirrors are of two types:

•  Concave mirror and
•  Convex mirror.

→ Concave mirror: A spherical mirror with reflecting surface curved inwards is called a concave mirror. Concave mirror forms either a real or virtual image of the object depending on the object distance.

→ Convex mirror: A spherical mirror with reflecting surface curved outwards is called a convex mirror. Convex mirror forms a virtual image of the object for all object distances.

→ Terminology used in respect of spherical mirrors:
(1) Pole (P): The centre of the reflecting surface of a sperical miror is a point called the pole (P) of the mirror.

(2) Centre of curvature (C) : The centre of curvature of a spherical mirror is the centre of the hollow sphere, of which the reflecting surface of the spherical mirror forms a part.

(3) Radius of curvature (R): The radius of curvature of a spherical mirror is the radius of the hollow sphere, of which the reflecting surface of the spherical mirror forms a part.

(4) Aperture : The diameter of the edge of the reflecting surface of a spherical mirror is called the aperture of the mirror.

(5) Principal axis : The imaginary straight¬line passing through the pole (P) and the centre of curvature (C) of a spherical mirror is called the principal axis of the mirror.

(6) Principal focus (F): The point on the principal axis of a concave mirror, at which rays of light incident on the mirror in the direction parallel to the principal axis (actually) meet / intersect after reflection from the mirror is called the principal focus (F) of the concave mirror. When rays parallel to the principal axis are incident on a convex mirror, the reflected rays appear to come from a point on the principal axis. This point is called the principal focus of the convex mirror.

(7) Focal length (f): The distance between the pole (P) and the principal focus (F) of a spherical mirror is called the focal length (f).

→ Selection of rays for locating the image formed by a spherical mirror:

• A ray parallel to the principal axis, after reflection, will pass through the principal focus (F) in case of a concave mirror or appear to diverge from the principal focus (F) in case of a convex mirror.
• A ray passing through the principal focus (F) of a concave mirror or a ray which is directed towards the principal focus of a convex mirror, after reflection, will emerge parallel to the principal axis.
• A ray passing through the centre of curvature of a concave mirror or directed towards the centre of curvature of a convex mirror, after reflection, is reflected back along the same path.
• A ray incident obliquely to the principal axis, towards a point P (pole of the mirror), on the concave mirror or a convex mirror is reflected obliquely, following the laws of reflection.

Out of these four types of rays, only two types of rays are necessary to locate the position of an image of a point object.

→ Image formation by a Concave mirror:

Position of the object	Position of the image	Size of the image	Nature of the image
At infinity	At the focus F	Highly diminished, point-sized	Real and inverted
Beyond C	Between F and C	Diminished	Real and inverted
At C	At C	Same size	Real and inverted
Between C and F	Beyond C	Enlarged	Real and inverted
At F	At infinity	Highly enlarged	Real and inverted
Between P and F	Behind the mirror	Enlarged	Virtual and erect

→ Image formation by a Convex mirror:

Position of the object	Position of the image	Size of the image	Nature of the image
At infinity	At the focus F, behind the mirror	Highly diminished, point-sized	Virtual and erect
Between infinity and the pole P of the mirror	Between P and F, behind the mirror	Diminished	Virtual and erect

→ New Cartesian sign convention for reflection by spherical mirrors:

• The object is always placed to the left of the mirror. This implies that the light from the object falls on the mirror from the left-hand side.
• All distances parallel to the principal axis are measured from the pole of the mirror.
• All the distances measured to the right of the origin (along + X-axis) are taken as positive while those measured to the left of the origin (along-X-axis) are taken as negative.
• The distances measured perpendicular to and above the principal axis of the mirror (along + Y-axis), are taken as positive.
• The distances measured perpendicular to and below the principal axis (along -Y-axis), are taken as negative.

→ Magnification prpduced by a spherical mirror: The ratio of the height of the image to the height of the object is called the magnification (m). It is the relative extent to which the image of the object is magnified with respect to the size of the object.

→ Refraction: When a ray of light travels obliquely from one transparent medium to another, its speed changes. Therefore, at the boundary separating the two media, there occurs a change in its direction of propagation. This phenomenon is called refraction of light.

→ Laws of refraction:
(1) The incident ray, the refracted ray and the normal to the interface of two transparent media at the point of incidence, all lie in the same plane.

(2) The ratio of the sine of angle of incidence to the sine of angle of refraction is a constant, for the light of a given colour and for the given pair of media. This law is known as Snell’s law of refraction. (This is true for angle 0° < i° < 90°)
If i is the angle of incidence and r is the angle of refraction,
\(\frac { sin i }{ sin r }\) = constant = n₂₁
where, n₂₁ is known as the refractive index of medium 2 with respect to medium 1.
The above equation is the mathematical representation of the Snell’s law.

→ Absolute Refractive Index: The ratio of the speed of light in vacuum (c) to the speed of light in medium (v), is called the absolute
refractive index of the medium.
n_m = \(\frac { c }{ v }\)
Absolute refractive index of any medium is always more than 1.

→ Relative Refractive Index: The ratio of the speed of light v1 in medium 1, to the speed of light v₁ in medium 2, is called the relative refractive index of medium 2 with respect to medium 1 and is represented by the symbol n₂₁. v₁ and v₂ correspond to the same frequency of light.
n₂₁ = \(\frac{v_1}{v_2}\)
Also, n₂₁ = \(\frac{n_2}{n_1}\) where, n₂ = \(\frac{c}{v_2}\) and n₁ = \(\frac{c}{v_1}\)
Here, v₁ is the speed of light in medium 1, v₂ is the speed of light in medium 2, n₁ is the absolute refractive index of medium 1 and n₂ is the absolute refractive index of medium 2, for the given frequency (given colour) of light.

→ Lateral shift: When a ray of light is refracted at two parallel refracting surfaces, the ray is shifted sideward. This sideward displacement of a ray of light is called lateral shift.

The amount of lateral shift depends upon the perpendicular distance between two parallel refracting surfaces as well as upon the angle of incidence and the refractive index of the second medium with respect to the first medium.

→ Terminology used in respect of lens:
(1) Centre of curvature (C): The centre of a transparent (glass) sphere, of which the curved surface of a lens forms a part is called the centre of curvature C of the respective spherical surface.
Lens has two centres of curvatures C₁ and C₂.

(2) Principal axis : The imaginary straight-line passing through the two centres of curvature C₁ and C₂ of a lens, is called the principal axis of the lens.

(3) Radius of curvature (R): The radius of a transparent (glass) sphere of which the curved surface of a lens forms a part is called the radius of curvature R of the respective spherical surface of the lens. Lens has two radii of curvature R₁ and R₂.

(4) Optical centre (O): The central point of a lens on the principal axis of the lens is called an optical centre O of the lens.

(5) Principal focus (F): When the rays parallel to the principal axis of a convex lens are refracted through the lens, they converge at a point on the principal axis. This point is called the principal focus F of the convex lens.

When the rays parallel to the principal axis of a concave lens are refracted through the lens, they appear to diverge from a point on the principal axis. This point is called the principal focus of the concave lens. A lens has two principal foci F₁ and F₂ on either side of the lens.

(6) Focal length (f): The distance of the principal focus from the optical centre of a lens is called the focal length f of the lens.

(7) Aperture : The effective diameter of the circular outline of a spherical lens is called the aperture of the lens.

→ Selection of rays for image formation by lens:

• A ray of light from the object, parallel to the principal axis, after refraction through a convex lens, passes through the principal focus on the other side of the lens.
• A ray of light from the object, parallel to the principal axis, after refraction through a concave lens, appears to diverge from the principal focus located on the same side of the lens.
• A ray of light passing through the principal focus, after refraction through a convex lens, will emerge parallel to the principal axis. A ray of light directed towards the principal focus on the other side of a concave lens, after refraction, will emerge parallel to the principal axis.
• A ray of light passing through the optical centre of a lens will emerge without any deviation. (This is true for a convex lens as well as a concave lens.)

From the above three types of rays any two types of rays will locate the position of the image.

→ Image formation by a Convex Lens:

Position of the object	Position of the image	Relative size of the image	Nature of the image
At infinity	At focus F2	Highly diminished, point-sized	Real and inverted
Beyond 2F1	Between F2 and 2F2	Diminished	Real and inverted
At 2F1	At 2F2	Same size	Real and inverted
Between F1 and 2F1	Beyond 2F2	Enlarged	Real and inverted
At focus F1	At infinity	Infinitely large or Highly enlarged	Real and inverted
Between focus F1 and optical centre O	On the same side of the lens as the object	Enlarged	Virtual and erect

→ Image formation by a Concave Lens:

Position of the object	Position of the image	Relative size of the image	Nature of the image
At infinity	At focus F1	Highly diminished, point-sized	Virtual and erect
Between infinity and optical centre O of the lens	Between focus F1 and optical centre O	Diminished	Virtual and erect

→ Sign convention for spherical lens : It is similar to that followed for spherical mirrors, but the optical centre of a lens is chosen as the origin of the co-ordinate system.

→ Magnification produced by a lens: The magnification (m) produced by a lens is defined as the ratio of the height of the image to the height of the object.

→ Power of a lens : The reciprocal of the focal length of a lens is called the power of the lens (P).
P = \(\frac { 1 }{ f }\)
SI unit: The dioptre (D)
1 D = 1 m^-1
The power of a convex lens is positive and that of a concave lens is negative.

Jharkhand Board JAC Class 10 Science Solutions Chapter 3 Metals and Non-metals Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Science Solutions Chapter 3 Metals and Non-metals

Jharkhand Board Class 10 Science Metals and Non-metals Textbook Questions and Answers

Question 1.
Which of the following pairs will give displacement reactions?
(a) NaCl solution and copper metal
(b) MgCl₂ solution and aluminium metal
(c) FeSO₄ solution and silver metal
(d) AgNO₃ solution and copper metal
Answer:
AgNO₃ solution and copper metal

Question 2.
Which of the following methods is suitable for preventing an iron frying pan from rusting?
(a) Applying grease
(b) Applying paint
(c) Applying a coating of zinc
(d) All of the above
Answer:
Applying a coating of zinc

Question 3.
An element reacts with oxygen to give a compound with a high melting point. This compound is also soluble in water. The element is likely to be…
(a) calcium
(b) carbon
(c) silicon
(d) iron
Answer:
calcium

Question 4.
Food cans are coated with tin and not with zinc because …
(a) zinc is costlier than tin.
(b) zinc has a higher melting point than tin.
(c) zinc is more reactive than tin.
(d) zinc is less reactive than tin.
Answer:
zinc is more reactive than tin.

Question 5.
You are given a hammer, a battery, a bulb, wires and a switch.
(a) How could you use them to distinguish between samples of metals and non-metals?
(b) Assess the usefulness of these tests in distinguishing between metals and non-metals.
Answer:
(a) Metals can be hammered Into thin sheets hence, metal possesses property of malleability while non-metals cannot be beaten into thin sheets.
Arrange the battery, bulb, wires and switch in a proper circuit and by passing the electric current, if the bulb glows, then it must be a metal, because metal is a good conductor of electricity. But if the bulb does not glow, then it Is a sample of non-metal, because non-metal is a non-conductor of electricity.

(b) First experiment shows that metal possesses property of malleability and ductility, while second experiment justifies that metals are good conductors of electricity while non-metals are non-conductor of electricity.

Question 6.
What are amphoteric oxides? Give two examples of amphoteric oxides.
Answer:
Metal oxides which react with both acids and bases to forms salt and water are called amphoteric oxides.
Examples:

• Aluminium oxide (Al₂O₃)
• Zinc oxide (ZnO)

Aluminium oxide reacts with an acid and a base in the following manner :
Al₂O₃ + 6HCl → 2AlCl₃ + 3H₂O

Zinc oxide reacts with an acid and a base in the following manner :
ZnO + 2HCl → ZnCl₂ + H₂O

Question 7.
Name two metals which will displace hydrogen from dilute acids and two metals which will not.
Answer:
Two metals which displace hydrogen from dilute acids are :

• zinc (Zn) and
• aluminium (Al).

Two metals which cannot displace hydrogen from dilute acids are :

• copper (Cu) and
• mercury (Hg).

Question 8.
In the electrolytic refining of a metal M, What would you take as an anode, the cathode and the electrolyte?
Answer:
In the electrolytic refining, Impure metal (M) is taken as an anode and thin strip of pure metal (M) Is taken as a cathode and solution of soluble salt of metal (M) Is taken as an electrolyte.

Question 9.
Pratyush took sulphur powder on a spatula and heated it. He collected the gas evolved by inverting a test tube over it as shown in figure below:
(a) What will be the action of gas on
(i) dry litmus paper?
(ii) moist litmus paper?
(b) Write a balanced chemical equation for the reaction taking place.

When sulphur powder is heated in air, it forms sulphur dioxide, which is acidic in nature and its aqueous solution is called sulphurous acid (H₂SO₃).
(a) Action of gas :

• There will be no effect of gas on dry litmus paper.
• Moist blue litmus paper changes its colour to red due to H⁺ ions present in the aqueous solution of H₂SO₃ formed from SO₂ obtained after burning sulphur.

(b) Balanced chemical equation for the above activity is as given below:
S(s) + O₂(g) → SO₂(g)

Question 10.
State two ways to prevent the rusting of iron.
Answer:
The rusting of iron can be prevented by painting, oiling, greasing, chrome plating, anodising or by making alloys.

Question 11.
What type of oxides are formed when non¬metals combine with oxygen?
Answer:
Non-metals combines with oxygen to form acidic oxides. For example, SO₂, SO₃, CO₂, Cl₂O₇, etc.

Question 12.
Give reasons :
(a) Platinum, gold and silver are used to make jewellery.
Answer:
Platinum, gold and silver are used to make jewellery, because these metals possesses lustre. They are malleable and ductile, as a result, jewellery of different shapes can be made. Moreover, these metals do not chemically react with water or air. Due to these properties platinum, gold and silver are used to make jewellery.

(b) Sodium, potassium and lithium are stored under oil.
Answer:
Sodium, potassium and lithium are highly reactive metals. They release hydrogen gas, when they react with air or moisture in air. Hydrogen gas is highly combustible and it catches fire. To prevent accidental fire, lithium, sodium and potassium are stored under oil.

(c) Aluminium is a highly reactive metal, yet it is used to make utensils for cooking.
Answer:
Aluminium is highly reactive metal. It reacts with oxygen of air to form aluminium oxide, which gets deposited as thin layer on the surface of aluminium. This layer acts as protective layer and prevents further reaction of aluminium with oxygen. Moreover it is light in weight and a good conductor of heat. Also, it’s manufacturing cost is very low in comparison to other metals. Therefore, most of the utensils for cooking are made from aluminium.

(d) Carbonate and sulphide ores are usually converted into oxides during the process of extraction.
Answer:
It is easier to obtain a metal from its oxide. Hence, it is essential to convert carbonate and sulphide ores into oxide ores during the extraction of metal. Extraction of metal by reduction of oxide ores is easier than extraction from its carbonate or sulphide ores.

Question 13.
You must have seen tarnished copper vessels being cleaned with lemon or tamarind juice. Explain why these sour substances are effective in cleaning the vessels.
Answer:
Copper vessels are tarnished and corroded due to formation of copper oxide layer on its surface. The green coating on copper vessels is due to formation of basic copper carbonate. On cleaning with lemon or tamarind juice, the citric acid present in them neutralises the basic copper carbonate and dissolves the layer, there by helps to regain the lustre of copper utensils.

Question 14.
Distinguish between metal and non-metal on the basis of their chemical properties.
Answer:

Metals	Non-metals
1. They are electro-positive elements.	1. They are electro-negative elements.
2. Aqueous solutions of metal oxides are basic.	2. Aqueous solutions of non-metal oxides are acidic.
3. Hydrogen gas is evolved when metals reacts with dilute acid.	3. When non-metal react with dilute acid hydrogen gas is not evolved.
4. Oxides of metals are basic in nature. For example, Na2O	4. Oxides of non-metals are acidic in nature. For example, SO2, CO
5. Atoms of metal possess one, two or three electrons in their outermost shell.	5. Atoms of non-metals possesses more than three electrons in their outermost shell.

Question 15.
A man went door to door posing as a goldsmith. He promised to bring back the glitter of old and dull gold ornaments. An unsuspecting lady gave a set of gold bangles to him which he dipped in a particular solution. The bangles sparkled like new but their weight was reduced drastically. The lady was upset but after a futile argument the man beat a hasty retreat. Can you play the detective to find out the nature of the solution he had used?
Answer:
That man was using a solution of aqua regia; which is a mixture of concentrated hydrochloric acid and concentrated nitric acid in the ratio of 3 : 1 by volume. Gold dissolves in aqua regia.

Question 16.
Give reason : Why copper is used to make hot water tanks and not steel (an alloy of iron.)?
Answer:
Copper does not react with cold and hot water nor it reacts with steam of water. Hence copper can be used to make hot water tanks.

But, steel is an alloy of an iron and it reacts with steam of water, hence, iron in steel is slowly corroded.
Therefore, copper is used for making hot water tanks and not steel.

Jharkhand Board Class 10 Science Metals and Non-metals InText Questions and Answers

Question 1.
Give an example of a metal which …
(i) is a liquid at room temperature.
(ii) can be easily cut with a knife.
(iii) is the best conductor of heat.
(iv) is a poor conductor of heat.
Answer:
(i) Mercury is a liquid at room temperature.
(ii) Sodium, potassium can be easily cut with a knife.
(iii) Silver and copper are good conductor of heat.
(iv) Lead is a poor conductor of heat.

Question 2.
Explain the meaning of malleable and ductile.
Answer:

1. Malleable : Malleable indicates a tendency of a metal to be brought in sheet form by hammering.
2. Ductile: Ductile indicates a tendency of a s metal to be brought in thin wire form.

Question 3.
Why is sodium kept immersed in kerosene oil?
Answer:
Sodium is highly reactive metal. It reacts with oxygen of air at room temperature. This reaction is highly exothermic. Thus, to prevent the reaction of sodium with oxygen, it is kept immersed in kerosene oil.

Question 4.
Write equations for the reactions of (i) Iron with steam.
(ii) Calcium and potassium with water.
Answer:
(i) Iron with steam:
4H₂O(g) + 3Fe(s) → Fe₃O₄(s) + 4H₂(g)

(ii) Calcium and potassium with water :

Question 5.
Samples of four metals A, B, C and D were taken and added to the following solution one by one. The results obtained have been tabulated as follows:

Metal	Iron (II) sulphate	Copper (II) sulphate	Zinc sulphate	Silver nitrate
A	No reaction	Displacement
B	Displacement		No reaction
C	No reaction	No reaction	No reaction	Displacement
D	No reaction	No reaction	No reaction	No reaction

Use the table above to answer the following questions about metals A, B, C and D:
(1) Which is the most reactive metal?
(2) What would you observe if B is added to a solution of copper (II) sulphate?
(3) Arrange the metals A, B, C and D in the order of decreasing reactivity.
Answer:
(1) Metal B is the most reactive metal.

(2) Blue colour of copper (II) sulphate solution disappears and reddish brown copper metal is < deposited on the metal B.

(3) Decreasing order of reactivity is s B > A > C > D.

Question 6.
Which gas is produced when dilute hydrochloric acid is added to a reactive metal? Write the chemical reaction when iron reacts with dilute H₂SO₄.
Answer:
When a reactive metal reacts with dilute hydrochloric acid, it forms hydrogen gas. The reactive metal displaces the hydrogen from acid releasing hydrogen gas.

Question 7.
What would you observe when zinc is added to a solution of iron (II) sulphate?
Write the chemical reaction that takes place.
Answer:
Zinc (Zn) is more reactive than iron (Fe). Hence, when it is added to iron (II) sulphate, it displaces the iron metal. As a result, the colour of the solution fades from green to colourless due to formation of zinc sulphate, and the greyish black coloured iron metal gets displaced.
Zn(s) + FeSO₄(aq) → ZnSO₄(aq) + Fe(s)

Question 8.
Name two metals which displace hydrogen from dilute acid and name two metals which cannot displace hydrogen from dilute acids.
Answer:
Two metals which displace hydrogen from dilute acids are:

• zinc (Zn) and
• aluminium (Al).

Two metals which cannot displace hydrogen from dilute acids are:

• copper (Cu)
• mercury (Hg).

Question 9.
Explain the electronic configuration of noble gases (He, Ne, Ar); metals (Na, Mg, Al, K, Ca) and non-metals (N, O, F, E S, Cl).
Answer:
Electronic Configurations of Some Elements

Question 10.
What are ionic compounds or electrovalent compounds? Explain with example.
OR
Explain the formation of sodium chloride (NaCl).
Answer:
The compounds formed by the transfer of electrons from a metal to a non-metal are known as Ionic compounds or electrovalent compounds. Atomic number of sodium is 11. Sodium atom has one electron in its outermost shell (M-shell). Sodium atom loses the electron from its M-shell and forms sodium cation (Na⁺) and acquires stable complete octet structure of noble gas neon (Ne).

Similarly, atomic number of chlorine is 17. Chlorine atom has seven electrons in its outermost shell (M-shell). Chlorine atom gains one e^– which is lost by sodium atom and forms chloride anion (Cl^–) and acquires stable complete octet structure of noble gas argon (Ar).

Sodium cation (Na⁺) and chloride anion (Cl^–) being oppositely charged attract each other and are held by strong electrostatic forces of attraction and exists as sodium chloride (NaCl).

Sodium chloride exists as a group of oppositely charged ions.

Question 11.
State the formation of magnesium chloride by the transfer of electrons.
Answer:
Atomic number of magnesium is 12. It loses its two electrons from outermost shell and acquires complete octet stable structure.

Similarly, atomic number of chlorine is 17. It gains one electron and acquires complete octet stable structure.

Thus, two electrons lost by magnesium atom are gained by two chlorine atoms (each one gets one electron) and forms magnesium chloride.

Question 12.
Explain the electronic configuration of noble gases (He, Ne, Ar); metals (Na, Mg, Al, K, Ca) and non-metals (N, O, F, P, S, Cl).
Answer:
Electronic Configurations of Some Elements

Question 13.
What are ionic compounds or electrovalent compounds? Explain with example.
OR
Explain the formation of sodium chloride (NaCl).
Answer:
The compounds formed by the transfer of electrons from a metal to a non-metal are known as Ionic compounds or electrovalent compounds. Atomic number of sodium is 11. Sodium atom has one electron in its outermost shell (M-shell). Sodium atom loses the electron from its M-shell and forms sodium cation (Na⁺) and acquires stable complete octet structure of noble gas neon (Ne).

Similarly, atomic number of chlorine is 17. Chlorine atom has seven electrons in its outermost shell (M-shell). Chlorine atom gains one e^– which is lost by sodium atom and forms chloride anion (Cl^–) and acquires stable complete octet structure of noble gas argon (Ar).

Sodium cation (Na⁺) and chloride anion (Cl^–) being oppositely charged attract each other and are held by strong electrostatic forces of attraction and exists as sodium chloride (NaCl).

Sodium chloride exists as a group of oppositely charged ions.

Question 14.
State the formation of magnesium chloride by the transfer of electrons.
Answer:
Atomic number of magnesium is 12. It loses its two electrons from outermost shell and acquires complete octet stable structure.

Similarly, atomic number of chlorine is 17. It gains one electron and acquires complete octet stable structure.

Thus, two electrons lost by magnesium atom are gained by two chlorine atoms (each one gets one electron) and forms magnesium chloride.

Activity 3.1 [T. B. Pg. 37]

Aim : To study the lustrous properties of metals.

Activity:

• Take samples of iron, copper, aluminium and magnesium. Note the appearance of surface of each sample.
• Clean the surface of each sample by rubbing them with sand paper and note their appearance again.

Questions :

Question 1.
How does the surface of samples of metal appear?
Answer:
The surface of samples of metal appear dull.

Question 2.
What happens when the surface of sample of metal is rubbed with sand paper?
Answer:
When the surface of sample of metal is rubbed with sand paper, it appears shiny.

Question 3.
How does the surface of metal appear in their pure form?
Answer:
Metals have shining surface in their pure form.

Question 4.
Name the shining property of metal.
Answer:
The property of shining surface of metal is known as metallic lustre.

Activity 3.2 [T. B. Pg. 37]

Aim : To study the hardness of metals.

Caution : Always handle sodium metal with care.

Activity:

• Take small pieces of iron, copper, aluminium and magnesium.
• Try to cut these metals with a sharp knife and note your observations.
• Hold a piece of sodium metal with a pair of tongs, put it on a watch-glass and try to cut it with a knife.
  What do you observe?

Questions:

Question 1.
Can we cut the metals such as an iron, copper, aluminium and magnesium with a knife?
Answer:
No, we can’t cut.

Question 2.
Can sodium metal be cut with a knife?
Answer:
Yes, we can cut sodium metal into pieces.

Question 3.
Which property of metal is seen in the above activity?
Answer:
Metals are hard and their hardness varies from metal to metal.

Activity 3.3 [T. B. Pg. 38]

Aim : To study that metals are malleable.

Activity:

• Take pieces of iron, zinc, lead and copper?
• Place any one metal on a block of iron and strike it four to five times with a hammer.
• What do you observe?
• Repeat the same with other metals.
• Record the change in the shape of these < metals.

Questions:

Question 1.
Which property of metal is observed in this activity?
Answer:
Metals can be hammered into thin sheets.

Question 2.
What is malleability of metals?
Answer:
The property of metals to be converted into thin sheets when hammered is known as ‘Malleability of metals’.

Question 3.
Name the metals which are most malleable in nature.
Answer:
Gold and silver.

Activity 3.4 [T. B. Pg. 38]

Aim: To study that metals are ductile.

Activity:
Take samples of metals such as iron, copper, aluminium and lead.

Questions:

Question 1.
What is meant by ductility?
Answer:
The ability of metals to be drawn into? thin wires (filaments) is called ductility.

Question 2.
Which metal is most ductile?
Answer:
Gold is most ductile metal.

Question 3.
What is the maximum length of wire which (can be drawn from one gram of gold?
Answer:
2 km length

Question 4.
Why the metals can be given different shapes?
Answer:
Metals can be given different shapes due to their properties like malleability and ductility.

Activity 3.5 [T. B. Pg. 38]

Aim : To show that metals are good conductors of heat and possesses high melting point.

Activity:

• Take an aluminium or copper wire. Clamp this wire on a stand as shown in the figure 3.1.
• Fix a pin to the free end of the wire using wax.
• Heat the wire with a spirit lamp, candle or a burner near the place where it is clamped.
• What do you observe after some time?
• Note your observations.
• Does the metal wire melt?
  

Questions:

Question 1.
What happens to a pin attached to the wire?
Answer:
Due to heating, metal wire expands and the pin is displaced forward. This indicate that heat flows through the wire and melts the wax but wire does not melt.

Question 2.
Which property of metal is observed in the above activity?
Answer:
The above activity shows that metals are good conductors of heat and have high melting point.

Question 3.
Which metal is used as the best conductor of heat?
Answer:
Silver and copper are best conductors of heat.

Question 4.
Which metals are poor conductors of heat?
Answer:
Lead and mercury are poor conductors of heat.

Activity 3.6 [T. B. Pg. 39]

Aim: To study the property of electrical conductivity of metals.

Activity:

• Set up an electric circuit as shown in the figure 3.2.
• Place the metal to be tested in the circuit between terminals A and B as shown.
  

Questions :

Question 1.
Which property of metal is observed in the above activity?
Answer:
It is observed that metals are good conductors of electricity.

Question 2.
Which coating is used on electric wire?
Answer:
The coating of polyvinyl chloride is formed on electric wire.

Question 3.
Does the bulb glow? What does it indicate?
Answer:
The bulb glows. It indicate that electric current flows through the metal.

Activity 3.7 [T. B. Pg. 39]

Aim : To study the properties of non-metals.

Activity:

• Collect the samples of carbon (coal or graphite), sulphur and iodine.
• Carry out the activities 3.1 to 3.4 and 3.6 with these non-metals and record your observations.

Questions:

Question 1.
State the physical states of non-metals.
Answer:
Non-metals exist in solid, liquid and gaseous states at room temperature.

Question 2.
State the common properties of non-metals based on the above activities.
Answer:

• Non-metals are non-conductors of heat and electricity.
• Boiling points of non-metals are comparatively lower.
• Non-metals do not possess property of malleability and ductility.

Activity 3.8 IT. B. Pg. 40]

Aim: To test the acidity and basicity of oxides.

Activity:

• Take a magnesium ribbon and some sulphur powder.
• Burn the magnesium ribbon. Collect the ashes formed and dissolve it in water.
• Test the resultant solution with red and blue litmus paper.
• Is the product formed on burning magnesium ribbon acidic or basic?
• Now, burn sulphur powder. Place a test tube over the burning sulphur to collect the fumes produced.
• Add some water to the above test tube and shake.
• Test this solution with blue and red litmus paper.
• Is the product formed on burning sulphur acidic or basic?
• Can you write equations for these reactions?

Questions :

Question 1.
What is formed on burning magnesium?
Answer:
Magnesium oxide (MgO) is formed on burning magnesium.

Question 2.
Is the magnesium oxide acidic or basic?
Answer:
Magnesium oxide is basic in nature.

Question 3.
Which product is obtained on burning sulphur?
Answer:
Sulphur dioxide (SO₂) is obtained.

Question 4.
Is the product formed on burning sulphur acidic or basic?
Answer:
It is acidic.

Question 5.
Write the equations of chemical reactions which occur in the activity 3.8.
Answer:

• 2Mg(s) + O₂(g) → 2MgO(s)
• MgO(s) + H₂O(l) → Mg(OH)₂(aq)
• S(s) + O₂(g) → SO₂(g)
• SO₂(g) + H₂O(l) → H₂SO₃(aq)

Question 6.
Is the sulphur dioxide acidic or basic?
Answer:
It is an acidic.

Activity 3.9 [T. B. Pg. 41]

Aim: To study the burning of metals in air.

Caution:

• This activity needs the teacher’s assistance.
• It would be better, if students wear goggles for eye protection.

Activity:

• Take samples of metals such as aluminium, copper, iron, lead, magnesium, zinc and? sodium.
• Hold any sample of metal taken above with a pair of tongs and try burning over a flame.
• Repeat the same with the other metal samples.
• Collect the product, if formed.
• Let the products and the metal surface cool down.
• Which metals burn easily?
• What flame colour did you observe when the metal burnt?
• How does the metal surface appear after burning?
• Arrange the metals in the decreasing order of their reactivity towards oxygen.
• Are the products soluble in water?

Questions:

Question 1.
Which metal burns easily in air?
Answer:
Magnesium burns easily in air.

Question 2.
What colour does Na, Mg, Cu and Al impart to the oxidising flame?
Answer:

• Na → Yellow flame
• Mg → Dazzling white flame
• Cu → Greenish blue flame
• Al → White flame

Question 3.
How does the metal surface appear after burning?
Answer:
Silvery white.

Question 4.
What is the solubility of product in water obtained by the reaction of Cu, Fe, Zn, Al with oxygen?
Answer:
The products obtained by the reaction of Cu, Fe, Zn and Al with oxygen are insoluble in water.

Question 5.
Arrange the metals such as Al, Cu, Fe, Pb, Mg, Zn and Na in the decreasing order of their reactivity towards oxygen.
Answer:
Na > Mg > Al > Zn > Fe > Pb > Cu.

Question 6.
Which amongst the given metals forms water soluble product after heating it?
Answer:
Amongst the given metals, only sodium metal on heating forms oxide which is soluble in water.

Activity 3.10 [T. B. Pg. 42]

Aim : To study the reaction of water with metals.

Caution :
This activity requires the teacher’s help.

Activity:

• Take samples of metals such as aluminium, copper, iron, lead, magnesium, zinc, calcium, gold, silver, sodium and potassium.
• Put small pieces of the samples separately in beakers half filled with cold water.
• Which metals reacted with cold water? Arrange them in the increasing order of their reactivity with cold water.
• Did any metal produce fire on water?
• Does any metal start floating after some time?
• Put the metals that did not react with cold water in beakers half filled with hot water.
• For the metals that did not react with hot water, arrange the apparatus as shown in the figure 3.3 and observe their reaction with steam.
• Which metals did not react even with steam?
• Arrange the metals in the decreasing order of reactivity with water.
  

Questions:

Question 1.
Which metals react with cold water?
Answer:
Sodium, potassium and calcium react with cold water.

Question 2.
Which metals produce fire on water?
Answer:
Sodium and potassium produce fire on water.

Question 3.
Which metal floats on water?
Answer:
Calcium and magnesium float on water.

Question 4.
Which metal does not react with cold water, but reacts with hot water?
Answer:
Magnesium does not react with cold water but it reacts with hot water.

Question 5.
Which metal does not react with either cold or hot water but reacts with steam?
Answer:
Aluminium, iron and zinc do not react with cold and hot water, but they react with steam.

Question 6.
Arrange the given metals (in activity) in the decreasing order of their reactivity with water.
Answer:
Decreasing order of the reactivity of metals with water is given as follows:
K > Na > Ca > Mg > A1 > Zn > Fe
Pb, Cu, Ag and Au does not react with water.

Question 7.
Arrange sodium, potassium and calcium metals in the increasing order of their reactivity with water.
Answer:
Ca < Na < K Question 8. Which metals do not react with cold water and steam? Answer: Pb, Cu, Ag and Au do not react with cold water and steam.

Activity 3.11 [T. B. Pg. 44]

Aim : To study the reaction of metal with an acid.

Activity: Collect the samples of pieces of metals such as magnesium, aluminium, zinc, iron and copper. Put the samples separately in test tubes containing dilute hydrochloric acid. Suspend thermometers in the test tubes. Which metals reacted vigorously with dilute hydrochloric acid? With which metal did you record the highest temperahire? Arrange the metals in the decreasing order of their reactivity with dilute acids.

Questions:

Question 1.
Which metal reacts vigorously with dilute hydrochloric acid?
Answer:
Magnesium metal reacts vigorously with dilute hydrochloric acid.

Question 2.
Which metal does not react with hydrochloric acid?
Answer:
Copper (Cu) metal do not react with hydrochloric acid.

Question 3.
With which metal the rise of temperature is maximum during the reaction?
Answer:
The rise of temperature is maximum in case of magnesium during the reaction.

Question 4.
Arrange the metals Mg, Al, Zn and Fe in the decreasing order of their reactivity towards dilute hydrochloric acid.
Answer:
Mg > Al > Zn > Fe

Activity 3.12 [T. B. Pg. 44 – 45]

Aim : To study the reaction of metal with solutions of other metal salts.

Activity:

• Take a clean wire of copper and an iron nail.
• Put the copper wire in a solution of iron sulphate and the iron nail in a solution of copper sulphate taken separately in test tubes (figure 3.4).
• Record your observations after 20 minutes.
• In which test tube did you find that a reaction has occurred?
• On what basis can you say that a reaction has actually taken place?
• Write a balanced chemical equation for the reaction that has taken place.
• Name the type of reaction.
  

Questions:

Question 1.
In which test tube, reaction has occurred? Write the balanced chemical equation for the reaction.
Answer:
The following reaction occurred in a test tube containing iron nail dipped in a copper sulphate solution :
Fe(s) + CuSO₄(aq) → FeSO₄(aq) + Cu(s)
In this reaction, more reactive Fe displaces less reactive Cu.

Question 2.
On what basis can you say that a reaction has actually taken place?
Answer:
Blue colour of copper sulphate solution turns green during reaction. This change indicates that reaction has occurred.

Question 3.
Name the type of reaction occurring in the above activity.
Answer:
Displacement reaction occurs in the above acitivity.

Question 4.
Why does the reaction not occurred in the test tube containing copper wire dipped in a iron sulphate solution?
Answer:
Because, iron (Fe) is more reactive than copper (Cu); the reaction does not take place.

Activity 3.13 [T. B. Pg. 48]

Aim : To study the properties of ionic compounds, s

Activity:

• Take samples of sodium chloride, potassium s iodide and barium chloride.
• What is the physical state of these salts?
• Take a small amount of a sample on a metal ; spatula and heat it directly on the flame (figure 3.5). Repeat with other samples.
• What did you observe? Did the samples s impart any colour to the flame?
• Try to dissolve the samples in water, petrol and kerosene. Are they soluble?
• Make a circuit as shown in figure 3.6 and insert the electrodes into a solution of one salt, s
• What did you observe? Test the other samples too in this manner.
• What is your inference about the nature of these compounds?
  

Answers of the questions asked in the above activity are given in the following table :

Students should go through these JAC Class 10 Maths Notes Chapter 2 बहुपद will seemingly help to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 2 बहुपद

भूमिका :
पिछली कक्षाओं में हमने एक व्यंजक बहुपद तथा उनकी घातों, गुणनखंड तथा गुणक के बारे में पढ़ा है। स्मरण रहे कि P(x), x चर में एक बहुपद है P(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है। उदाहरण के लिए, 4y² – 5y + 9, y चर में एक बहुपद है, जिसकी घात 2 है।
इस अध्याय में हम रैखिक तथा द्विघातीय बहुपदों के ज्यामितीय निरूपण (Geometrical Representation) और उनके शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ के साथ-साथ बहुपद के गुणांकों और शून्यांकों के बीच सम्बन्धों का अध्ययन करेंगे।

बहुपद के प्रकार :
→ एकपदी (Monomial): ऐसे बहुपद को जिसमें केवल एक पद हो, एकपदी (monomial) कहते हैं:
जैसे : x², ax, 3x², a²x³, \(\frac{1}{2}\)x⁴ इत्यादि।

→ द्विपदी (Binomial): ऐसे बहुपद को जिसमें केवल दो पद हों, द्विपदी (binomial) कहते हैं; जैसे: ax + b, 5x² + 3x, a²xⁿ + b इत्यादि ।

→ त्रिपदी (Trinomial) ऐसे बहुपद को जिसमें केवल तीन पद हों, त्रिपदी (trinomial) कहते हैं: जैसे 3x² + 5x – 7, ax² + bx + c, ….. इत्यादि।

→ शून्य बहुपद (Zero polynomial): यदि किसी बहुपद में सभी पदों के गुणांक शून्य हों तो वह शून्य बहुपद कहलाता है। जैसे : p(x) = 0.
एक घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद, दो घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद और तीन घातों वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं।

→ बहुपद की घात (Power of polynomial) चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात को बहुपद की घात कहते हैं।
उदाहरण के लिए: (i) बहुपद p(x) = x⁵ + 4x³ – 3x² + 2x – 3 में चर राशि x की उच्चतम घात का पद है। जिसका घातांक 5 है। अतः बहुपद की घात 5 होगी।
(ii) बहुपद p(y) = 3y³ + 4y² – y + 8 में चर राशि की उच्चतम घात का पद 3y3 है, जिसका घातांक 3 है। अतः बहुपद P(y) की घात 3 होगी।

→ अचर बहुपद (Costant Polynomial): शून्य घात वाला बहुपद नियतांक या अचर बहुपद कहलाता है।
जैसे: p(x) = 7, g(x) = –\(\frac{3}{2}\), h(y) = 2, p(t) = 1 इत्यादि में किसी भी चर की घात शून्य होगी। अत: इस प्रकार के बहुपद अचर बहुपद कहलाते हैं।

→ रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): घात 1 वाला बहुपद रैखिक बहुपद कहलाता है।
जैसे: 2x + 3, \(\sqrt{3}\)x + 5, y + \(\sqrt{2}\), x – \(\frac{2}{11}\), 3t + 4 इत्यादि सभी रैखिक बहुपद हैं।

→ द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाला बहुपद द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात (Quadratic) शब्द क्वाड्रेट (quadrate) शब्द से बना है जिसका अर्थ वर्ग अर्थात् घात 2 है।
जैसे : f(x) = 2x² + 3x – \(\frac{4}{5}\), g(y) = 2y² – 3
h(u) = 2 – u² + \(\sqrt{3}\)u, p(v) = \(\sqrt{3}\)v² – \(\frac{4}{3}\)v + \(\frac{1}{2}\), इत्यादि द्विघात बहुपद हैं जिनके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।
व्यापक रूप से चर x में कोई द्विघात बहुपद f(x) = ax² + bx + c के रूप में होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ a ≠ 0 है।

→ त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) : घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है।
जैसे : f(x)= \(\frac{9}{5}\)x³ – 2x² + \(\frac{7}{3}\)x – \(\frac{1}{5}\), g(x) = 2 – x³ तथा h(y) = 3y³ – 2y² + y + 1
चर x में एक त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप निम्न है :
f(x) = ax³ + bx² + cx + d, जहाँ a, b, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ a ≠ 0 है।

बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) : कुछ निश्चित चर तथा अचर राशियों के योग, अन्तर, गुणन, भाग इत्यादि के संयोग से बने पद को बीजीय व्यंजक कहते हैं।
उदाहरणार्थ : f(x) = x³ – 6x² + x + 9, f(x) = -3x² + 2x – 1 तथा f(x) = 4x + 3 इत्यादि
इस प्रकार के बीजीय व्यंजकों को बहुपद (Polynomial) कहते हैं।
बहुपद : बीजीय व्यंजक के बहुपद होने के लिए निम्नलिखित शर्तें पूर्ण होनी चाहिए :
1. चर राशि का घातांक एक धनात्मक पूर्णांक हो।
2. पदों की संख्या निश्चित (सीमित) हो।
3. प्रत्येक पद में चर का गुणांक एक वास्तविक संख्या हो।
यदि x एक चर, प्राकृत संख्या और a₀, a₁, a₂, a₃, ….. a_n वास्तविक सख्याएँ हैं तो
p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + …… +a_nxⁿ
p(x) को चर x में एक बहुपद कहते हैं।
जहाँ a₀, a₁x, a₂x², a₃x³, …… इसके पद (Term) कहलाते हैं और a₀, a₁, a₂, a₃….. उनके गुणांक (Coefficient) कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए:
(i) p(x) = 3x – 2 [चर x में एक बहुपद है।]
(ii) q(y) = 3y² – 2y + 4 [चर y मेँ एक बहुपद है।]
(iii) f(u) = \(\frac{1}{2}\)u³ – 3u² + 2u – 4 [चर u में एक बहुपद है।]
क्योंकि इन सभी (i), (ii) एवं (iii) की घात धनात्मक पूर्णांक है तथा प्रत्येक पद में चर राशि का गुणांक एक वास्तविक संख्या है।

निम्न व्यंजकों पर ध्यान दीजिए:
(i) p(x) = 2x² – 3\(\sqrt{x}\) यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sqrt{x}\) या x^1/2 में x की घात \(\sqrt{2}\) है जो कि पूर्णांक नहीं है।
(ii) f(x) = \(\frac{1}{2 x^2-2 x+5}\) में भी x के घात धन पूर्णांक नहीं हैं अतः यह बहुपद नहीं है।
(iii) q(u) = x³ – \(\frac{1}{x^2}\) + 3 में \(\frac{1}{x^2}\) या x^-2 में x की घात -2 है, जो कि धन पूर्णाक नहीं है। अतः बहुपद नहीं है।

बहुपद का मान (Value of Poynomial): यदि f(x) चर x में एक बहुपद है और कोई वास्तविक संख्या है तो f(x) में x के स्थान पर α का मान रखने से प्राप्त वास्तविक संख्या बहुपद f(x) का x = α पर मान होगा और इसे f(α) द्वारा व्यक्त करते हैं।
जैसे: (i) f(x) = 2x² – 3x – 2 के x = 1 और x = -2 पर मान ज्ञात कीजिए ।
x = 1 पर, f(1) = 2(1)² – 3(1) – 2 = 2 × 1 – 3 × 1 – 2 = 2 – 3 – 2 = -3
x = -2 पर, f(-2) = 2(-2)² – 3(-2) – 2 = 2 × (+4) + 6 – 2 = 8 + 6 – 2 = 12
(ii) यदि बहुपद f(x) = x³ – 6x² + 11x – 6 है, x = -1 पर बहुपद का मान ज्ञात कीजिए।

बहुपद के शून्यक (Zeroes of Polynomial) : यदि किसी बहुपद p(x) में चर x के स्थान पर a (एक वास्तविक संख्या) प्रतिस्थापित करने पर p(a) = 0 हो, तो को बहुपद p(x) का शून्यक (Zero) कहते हैं। अर्थात् किसी भी बहुपद के शून्यकं ज्ञात करने का अर्थ होता है समीकरण p(x) = 0 को हल करना।
जैसे : (i) p(x) = 2x³ + 3x² + 3x + 2 का शून्यक ज्ञात करना है।
x = 0 पर, p(0) = 2(0)³ + 3(0)² + 3(0) +2
P(0) = 2 अर्थात p(0) ≠ 0
अत: शून्य, बहुपद p(x) का शून्यक नहीं है।
x = -1 पर, p(-1) = 2(-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 2 = – 2 + 3 – 3 + 2 = 0
P(-1) = 0
अत: -1 बहुपद p(x) का एक शून्यक है।

विशेष :
(i) प्रत्येक रैखिक बहुपद का एक और केवल एक ही शून्यक होता है।
(ii) द्विघात बहुपद के दो शून्यक होते हैं।
(iii) त्रिघात बहुपद के तीन शून्यक होते हैं।
(iv) प्रत्येक बहुपद के वास्तविक शून्यक नहीं होते हैं।
जैसे : x² + a, x² + 2 तथा y² + y + 1 का कोई भी वास्तविक शून्यक नहीं है।
p(x) = x² + 6x + 15 का कोई शून्यक नहीं होता।
हल: माना कि p(x) = x² + 6x + 15
∴ p(x) = {x² + 2. (3). x + 9} + 6 = (x + 3)² + 6
यहाँ हम देखते हैं कि x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए (x + 3)² कभी भी ऋणात्मक मान ग्रहण नहीं कर सकता। अत: (x + 3)² का मान सदैव शून्य से बड़ा ही होगा। परिणामस्वरूप f(x) का मान भी 6 या उससे अधिक होगा।
इसलिए p(x) का कोई शून्यक विद्यमान नहीं है।

बहुपद के आलेख एवं शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ :
बहुपद p(x) के ज्यामितीय आलेख को x अक्ष जिन बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है, उन बिन्दुओं के भुज या x-निर्देशांक बहुपद p(x) के शून्यक (zeroes) के रूप में जाने जाते हैं।
रैखिक बहुपद : व्यापक रूप में एक रैखिक बहुपद f(x) = ax + b, a ≠ 0 के लिए ग्राफ एक सरल रेखा प्राप्त होती है, जो x अक्ष को ठीक एक बिन्दु \(\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\) पर काटती है।
अत: रैखिक बहुपद p(x) = ax + b, a ≠ 0 का केवल एक शून्यक होगा क्योंकि बहुपद का आलेख x-अक्ष पर केवल एक बिन्दु पर काटता है।

(ii) द्विघात बहुपद : किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c, a ≠ 0 के लिए ग्राफ दो में से किसी एक आकार का हो सकता है या तो ऊपर की ओर खुला (∪ की तरह) अथवा नीचे की ओर खुला (∩ की तरह) का होता है जो कि a > 0 या a < 0 पर निर्भर करता है।
इन वनों को परवलय (Parabola) कहते हैं।
बहुपद ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0 के शून्यक ठीक-ठीक उन बिन्दुओं के x-निर्देशांक होते हैं जहाँ बहुपद y = ax² + bx + c को निरूपित करने वाला ग्राफ (परवलय) x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
y = ax² + bx + c, के ग्राफ के आकार (परवलय) की तीन स्थितियाँ सम्भव हो सकती हैं।

स्थिति (I) : जब बहुपद ax² + bx + c के दो अलग-अलग गुणनखण्ड हैं:
इस स्थिति में ax² + bx + c का ग्राफ x-अक्ष को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं A और A’ पर प्रतिच्छेद करता है तो इन बिन्दुओं के x निर्देशांक बहुपद ax² + bx + c के दो शून्यक होते हैं।
परवलय y = ax² + bx + c के शीर्ष के निर्देशांक \(\left(\frac{-b}{2 a}, \frac{-D}{4 a}\right)\) हैं, जहाँ D = b² – 4ac है।

किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बन्ध :
व्यापक रूप में, यदि द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0 के शून्यक α और β हों, तो हम जानते हैं कि (x – α) और (x – β), p(x) के गुणनखण्ड होते हैं।
अतः ax² + bx + c = k(x – α) (x – β),
जहाँ k एक अचर है
= k[x² – (α + β)x + αβ]
ax² + bx + c = kx² – k(α + β)x + kαβ
दोनों पक्षों से x², x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
a = k, b = – k (a + B) और c = kαβ
इससे प्राप्त होता है, α + β = \(\frac{-b}{a}\), αβ = \(\frac{c}{a}\)

व्यापक रूप में, यदि त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β और γ हों, तो हम जानते हैं कि (x – α), (x – β) और (x – γ) बहुपद के गुणनखण्ड होते हैं। अतः
ax³ + bx² + cx + d = k(x – α) (x – β) (x – γ), जहाँ k एक अचर है।
= k[{x² – (α + β)x + αβ} (x – γ)]
= k[x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ]
= kx³ – k(α + β + γ)x² + k (αβ + βγ + γλ) x – kλβγ
दोनों पक्षों से x³, x², x के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,
a = k, b = -k(α + β + γ)
तथा c = k(αβ + βγ + γλ), d = -kαβγ
इससे प्राप्त होता है :

बहुपदों के लिए यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म :
माना कि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं, जहाँ g(x) ≠ 0 हो तो बहुपद q(x) और r(x) ऐसे प्राप्त किए जा सकते हैं कि
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
जहाँ r(x) = 0 है अथवा r(x) की घात < g(x) की घात है।
उक्त परिणाम बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म कहलाता है।

Jharkhand Board JAC Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Exercise 11.2

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए:

प्रश्न 1.
6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए । केन्द्र से 10 सेमी दूर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा -युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापकर लिखिए।
हल :
दिया है : 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और उसके केन्द्र बिन्दु O से 10 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P है।

रचना के चरण :

1. सर्वप्रथम बिन्दु O को केन्द्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त के केन्द्र O से 10 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P लिया।
3. OP को मिलाया और OP की समद्विभाजक रेखा खींची जो OP को M बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर PM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁ तथा T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
5. PT₁ और PT₂ को मिलाया, जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

औचित्य (उपपत्ति) : हम जानते हैं कि किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा, उस बिन्दु पर त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
अब OT₁ और OT₂ को मिलाया, वृत्त OT₁PT₂ में OP व्यास है।
∴ ∠OT₁P अर्द्धवृत्त में बना कोण है।
∴ ∠OT₁P = 90°
इसी प्रकार ∠OT₂P = 90°
अत: PT₁ तथा PT₂ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखा की लम्बाई नापने पर,
PT₁ = PT₂ = 8.0 सेमी

प्रश्न 2.
4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल :

दिया है: 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और 6 सेमी त्रिज्या का एक संकेन्द्रीय वृत्त जिस पर एक बिन्दु P दिया है।
रचना के चरण :

1. 4 सेमी त्रिज्या लेकर केन्द्र O वाला एक वृत्त खींचा।
2. केन्द्र O से 6 सेमी त्रिज्या पर एक संकेन्द्रीय वृत्त खींचा और इस पर एक बिन्दु P लिया।
3.  रेखाखण्ड OP खींचा और इसका लम्ब समद्विभाजक खींचा जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर MP त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो केन्द्र O के 4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त को T₁ और T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
5. PT₁ और PT₂ को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ है।

औचित्य (उपपत्ति) : ∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
OT₁ तथा OT₂ को मिलाया, OP वृत्त का व्यास है ।
∠OT₁P तथा ∠OT₂P अर्द्धवृत्त के कोण हैं।
∴ ∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90°
∴ OT₁ ⊥ PT₁ तथा OT₂ ⊥ PT₂
अत: PT₁ तथा PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
स्पर्श रेखा की लम्बाई मापने पर,
PT₁ = PT₂ = 4.7 लगभग ।

प्रश्न 3.
3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु और 2 लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं खींचिए ।
हल :
दिया है : 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त है जिसका केन्द्र O है। AOB वृत का व्यास है जिसको इस प्रकार बिन्दुओं P व Q तक बढ़ाया गया है कि वृत्त के केन्द्र O से प्रत्येक बिन्दु P व Q की दूरियाँ OP व OQ, 7 सेमी हैं।
रचना के चरण :

1. O केन्द्र वाला 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त का व्यास AB खींचकर इसे दोनों ओर क्रमशः P व Q तक इस प्रकार बढ़ाया कि OP = OQ = 7 सेमी ।
3. OP और OQ के लम्ब समद्विभाजिक खींचे जो OP को M₁ तथा OQ को M₂ पर काटते हैं।
4. बिन्दु M₁ को केन्द्र मानकर M₁O त्रिज्या का वृत्त खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁ व T₂ पर काटता है।
5. PT₁ और PT₂ को मिलाया ।
6. बिन्दु M₂ को केन्द्र मानकर M₂O त्रिज्या का वृत्त को खींचा जो O केन्द्र वाले वृत्त को S₁ व S₂ पर काटता है।
7. QS₁ और QS₂ को मिलाया।

अत: PT₁, PT₂, QS₁ और QS₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : केन्द्र O वाले वृत्त की त्रिज्याएँ OT₁, OT₂, OS₁ व OS₂ खींचीं।
∵ हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः ∠OT₁P – ∠OT₂P = 90° तथा
∠OS₁Q = ∠OS₂Q = 90°
∵ केन्द्र M₁ वाले वृत्त में ∠OT₁P व ∠OT₂P अर्द्धवृत्तों में स्थित कोण है।
∴ ∠OT₁P व ∠OT₂P समकोण हैं जो क्रमश: त्रिज्याओं OT₁ OT₂ के सिरों T₁ व T₂ पर स्थित हैं।
∴ PT₁ व PT₂, केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। इसी प्रकार, QS₁ व QS₂ भी केन्द्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 4.
5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
हल :
दिया है एक वृत्त का केन्द्र O है तथा त्रिज्या 5 सेमी है।
रचना के चरण :
1. O को केन्द्र मानकर 5 सैमी त्रिज्या का एक वृत खींचा।
2. वृत्त का व्यास AB खींचा।
3. बिन्दु O पर OB त्रिज्या से 60° का कोण बनाती हुई एक OP रेखा खींची जो वृत्त को P बिन्दु पर काटती है।
4. बिन्दु A पर OA से 90° कोण बनाती हुई AX स्पर्श रेखा खींची।

5. इसी प्रकार बिन्दु P से स्पर्श रेखा PY खींची।
AX तथा PY एक दूसरे को T पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अत: PT और AT वृत्त की दो अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं
जो एक-दूसरे के साथ 60° का कोण बनाती हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : माना वृत्त का केन्द्र O है।
PT और AT वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं जिनके बीच का कोण 60° है अर्थात्
∠PTA = 60°
परन्तु ∠POA + ∠PTA = 180° होता है।
∴ ∠POA = 180° – ∠PTA
= 180° – 60°
= 120°
∴ ∠POB = 180° – ∠POA
= 180° – 60°
= 120°
अत: PT तथा AT वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जो 60° के कोण पर झुकी हैं।

प्रश्न 5.
8 सेमी लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए । A को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए । प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए ।
हल :
दिया है रेखाखण्ड AB = 8.0 सेमी केन्द्र A से 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा गया है तथा केन्द्र B से 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचा गया है।
रचना के चरण :

1. रेखाखण्ड AB = 8 सेमी खींचा।
2. केन्द्र A से 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा और केन्द्र B से 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
3. AB का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो AB को M बिन्दु पर काटता है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर MB त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो A केन्द्र वाले वृत्त को S₁ व S₂ पर काटता है तथा B केन्द्र वाले वृत्त को T₁ व T₂ बिन्दुओं पर काटता है।
5. S₁B व S₂B और T₁A व T₂ को मिलाया।

अत: S₁B और S₂B केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं तथा T₁A और T₂A केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) :
∵ चूँकि हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः ∠AS₁B = ∠AS₂B = 90°
तथा ∠BT₁A = ∠BT₂A = 90°
∵ केन्द्र बिन्दु M वाले वृत्त का व्यास AB है।
∴ ∠AS₁B = ∠AS₂B, ∠BT₁A व ∠BT₂A अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं। अत: प्रत्येक कोण समकोण है।
∴ AS₁ ⊥BS₁; AS₂ ⊥ BS₂ और BT₁ ⊥ AT₁ व BT₂ ⊥ AT₂
∴ S₁B व S₂B केन्द्र A वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं और AT₁ व AT₂ केन्द्र B वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी तथा ∠B = 90° है। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C व D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल :
दिया है : एक समकोण त्रिभुज ABC जिसमें ∠B = 90°, AB = 6 सेमी तथा BC = 8 सेमी है। शीर्ष B से भुजा AC पर BD लम्ब खींचा गया है।
रचना के चरण :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड BC = 8 सेमी खींचा।
2. बिन्दु B पर 90° कोण बनाते हुए, AB रेखाखण्ड 6 सेमी खींचा।

3. AC को मिलाया। इस प्रकार समकोण ΔABC प्राप्त हुआ।
4. बिन्दु B से AC पर BD लम्ब खींचा जो AC को D बिन्दु पर काटता है।
5. अब ΔBCD की भुजाओं BD और CD के लम्ब समद्विभा जक किए जो परस्पर O बिन्दु पर काटते हैं।
6. O को केन्द्र मानकर OB त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो बिन्दुओं B, C D से होकर गुजरता है।
7. चूँकि AB स्वयं स्पर्श रेखा है। इसलिए A को केन्द्र मानकर AB त्रिज्या का चाप खींचा जो वृत्त को P बिन्दु पर काटता है। AP को मिलाया।
अतः AP अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
औचित्य (उपपत्ति) :
∵ ∠ABC = 90° (रचना से)
स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∴ ∠ABC = 90°
अत: AB रेखा स्पर्श रेखा है।
∵ AP = PB
अत: रेखा AB बिन्दु A पर खींची गई दूसरी स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 7.
किसी चूड़ी की सहायता से वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल :
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचने का अर्थ है कि वृत्त का केन्द्र अज्ञात है। सर्वप्रथम हम केन्द्र ज्ञात करेंगे।
रचना के चरण :
1. चूड़ी की सहायता से वृत्त खींचा। इस वृत्त का केन्द्रबिन्दु ज्ञात करने के लिए कोई दो जीवाएँ AB और CD खाँचते हैं।

2. जीवा AB और CD के लम्ब समद्विभाजक किए जो परस्पर बिन्दु पर काटते हैं।
बिन्दु O वृत्त का केन्द्र होगा।
[∵ OA = OB = OC = OD]
(वृत की त्रिज्याएँ हैं)
3. वृत्त के बाहर कोई बिन्दु P लिया।
4. OP को मिलाकर लम्ब समद्विभाजक किया जो OP को बिन्दु M पर काटता है।
5. बिन्दु M को केन्द्र मानकर MP त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं जो O केन्द्र वाले वृत्त को T₁ व T₂ पर काटता है।
6. PT₁ और PT₂ को मिलाया।
अत: PT₁ व PT₂ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
औचित्य (उपपत्ति) : OT₁ को मिलाया।
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है।
∵ ∠OT₁P = ∠OT₂P = 90°
∵ OP वृत्त का व्यास है, ∠OT₁P तथा ∠OT₂P अर्द्धवृत्त में बने कोण हैं।
∴ ∠OT₁P = 90° तथा ∠OT₂P = 90°
अत: PT₁ और PT₂ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

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JAC Board Class 10 Maths Notes Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

भूमिका :
हमने पिछली कक्षाओं में प्राकृतिक संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, परिमेय संख्याओं अपरिमेय संख्याओं व वास्तविक संख्याओं के विषय में पढ़ा है। हमने इनके गुणों के विषय में भी पढ़ा है स्मरण करें कि वास्तविक संख्याएँ परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का समूह होती हैं।

इस अध्याय में हम \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) आदि की अपरिमेयता सिद्ध करने, परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार, सांत आवर्ती दशमलवं प्रसार, यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग, अंकगणित की आधारभूत प्रमेव यूक्लिड विभाजन प्रमेविका आदि के विषय में अध्ययन करेंगे।
→ वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) : परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्याओं के समूह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।
जैसे 3, 5, \(\sqrt{7}\), \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) आदि।

→ परिमेय संख्याएँ (Rational numbers): वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार सांत अथवा असांत आवर्ती होता परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें \(\frac{p}{q}\) (जहाँ q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे- \(\frac{2}{4}\), 3, \(\frac{1}{3}\) आदि।

→ अपरिमेय संख्याएँ (Irrational numbers): वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती होता है. अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt[3]{4}\), π आदि ।

→ पूर्णांक (Integers): शून्य प्राकृतिक संख्याओं एवम् ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं के समूह की पूणांक कहते हैं।
जैसे- -9, -8, 0, 5, 4, आदि।

→ सम संख्याएँ (Even numbers): वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित होती हैं, सम संख्याएँ कहलाती है।
जैसे- 2, 4, 6, 8, 10 ….. (सम संख्याओं में इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, 8 होता है।)

→ विषम संख्याएँ (Odd numbers): वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित नहीं होती हैं, विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- 1, 3, 5, 7, 9, …. (विषम संख्याओं में इकाई का अंक 1, 3, 5, 9 होता है।)

→ अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers): वे संख्याएँ जिनके सिर्फ दो गुणनखंड (1 व स्वयं) होते हैं, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं अथवा वे संख्याएँ जो या स्वयं से विभाजित होती हैं, अभाज्य संख्या कहलाती हैं।
जैसे- 2, 5, 7, 11, 13, ….. ( सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 होती है।)

→ भाज्य संख्याएँ (Composite numbers): वे संख्याएँ जिनके और स्वयं के अलावा कम से कम एक और “गुणनखण्ड हो, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।
जैसे- 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
महत्वपूर्ण बिन्दु: 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।

→ सांत दशमलव प्रसार (Terminating decimal expansion): जिन परिमेय संख्याओं के हर 2ⁿ × 5^m के रूप में होते हैं, उनके दशमलव प्रसार सांत होते हैं।
जैसे \(\frac{2}{4}\) = 0.5, \(\frac{1}{5}\), 0.2, \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\) = 0·4

→ असांत आवर्ती दशमलव प्रसार (Non-terminating recurring decimal expansion): जिन परिमेय संख्याओं के हर 2ⁿ × 5^m के रूप में नहीं होते हैं, उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होते हैं।
जैसे \(\frac{1}{3}\) = 0.333, …. \(\frac{17}{6}\) = 2.8333…

→ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): दी गयी संख्याओं के छोटे से छोटे सार्वगुणज को लघुत्तम समापवर्त्य कहते हैं।

→ महत्तम समापवर्त्य (HCF): दी गयी संख्याओं के बड़े से बड़े सार्व गुणनखंड को महत्तम समापवर्तक कहते हैं।

पूर्णांकों की भाजकता तथा धनात्मक पूर्णांकों के दो महत्वपूर्ण गुण-
(i) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म ( कलन विधि) (Euclid’s Division Algorithm ): यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग इस अध्याय में दो धनात्मक पूर्णांकों के महत्तम समापवर्तक (HCF) परिकलित करने में करेंगे।
(ii) अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic ): अंकगणित की आधारभूत प्रमेय का प्रयोग दो अनुप्रयोगों में करेंगे:
(i) प्रथम अनुप्रयोग में कुछ संख्याओं जैसे \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) आदि की अपरिमेयता सिद्ध करने में करेंगे। (ii) किसी दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखण्ड ज्ञात करने में करेंगे।

यूक्लिड विभाजन प्रमेविका :
यूक्लिड प्रथम यूनानी गणितज्ञ थे, जिन्होंने समतल ज्यामिति के अध्ययन हेतु एक नई विचारधारा को प्रारम्भ किया जिसमें से एक यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका है। इसके अनुसार एक धनात्मक पूर्णांक a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से विभाजित करने पर भागफल q और शेषफल r प्राप्त होता है तथा शेषफल r या तो शून्य होता है या भाजक b से छोटा होता है अर्थात् 0 ≤ r < b होता है।

यही यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका है।
इसे औपचारिक रूप से निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
यदि a और b दो धनात्मक पूर्णांक हैं तो दो ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r विद्यमान होते हैं कि
a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
ध्यान रहे कि या शून्य भी हो सकते हैं।
साधारण शब्दों में, भाज्य (a) = भाजक (b) × भागफल (q) + शेषफल (r)

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय :
प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है तथा यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है अर्थात् इस पर कोई ध्यान दिए बिना कि अभाज्य गुणनखंड किस क्रम में आ रहे हैं।

उदाहरण के लिए :
44 एक भाज्य संख्या है। इसे 2 × 2 × 11 अथवा 11 × 2 × 2 के रूप में लिखा जा सकता है। यदि हम 2 × 2 × 11 अथवा 11 × 2 × 2 के क्रम पर ध्यान नहीं देते अर्थात् यदि 2 × 2 × 11 और 11 × 2 × 2 में कोई अन्तर नहीं है, तो यह गुणनखण्ड अद्वितीय भी है।
दो संख्याओं के म. स. तथा ल.स. में सम्बन्ध- दो संख्याओं के म. स. तथा ल.स. का गुणनफल उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्
म.स. (H.C.F.) × ल.स. (L.C.M.) = एक संख्या (a) × दूसरी संख्या (b)
यदि दो संख्याएँ a और b हों, तो
H.C.F. × L.C.M. = a × b
इस मुख्य सम्बन्ध की सहायता से निम्नांकित सम्बन्ध भी लिखे जा सकते हैं-
(i) H.C.F. = \(\frac{a \times b}{\text { L.C.M }}\)
(ii) L.C.M. = \(\frac{a \times b}{\text { H.C.F. }}\)
(iii) a = \(\frac{\text { H.C.F. } \times \text { L.C.M. }}{b}\)
(iv) b = \(\frac{\text { H.C.F. } \times \text { L.C.M. }}{a}\)

अपरिमेय संख्याओं का पुनभ्रमण :
अपरिमेय संख्याएँ: वे संख्याएँ जिनका दशमलव प्रसार असान्त (Non-terminating) और अनावर्ती (Non-repeating) हो, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इन संख्याओं को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; जहाँ p और q पूर्णांक है और q ≠ 0.
उदाहरण : \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{15}\), π, \(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\), 0.10110111011110…….. इत्यादि।
हम विरोधाभास विधि द्वारा संख्याओं की अपरिमेयता को सिद्ध करते हैं।

परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव प्रसारों का पुनभ्रमण :
कोई भी परिमेय संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत है, उसे हम एक ऐसी परिमेय संख्या के रूप में लिख सकते हैं जिसका हर 10 की कोई घात होती है अर्थात् कोई भी 10 की धनात्मक घात को 2 और 5 की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
जैसे 10ⁿ = (2 × 5)ⁿ ⇒ 2ⁿ × 5ⁿ
10² = 2² × 5²
10³ = 2³ × 5³ इत्यादि
अतः जिन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत होते हैं, उनके हर 2ⁿ × 5^m के रूप में होते हैं।

Students must go through these JAC Class 10 Science Notes Chapter 9 Heredity and Evolution to get a clear insight into all the important concepts.

JAC Board Class 10 Science Notes Chapter 9 Heredity and Evolution

→ Variation: The differences in the characters or traits shown by the individuals of same species are called variations.

→ Variations arise during the process of reproduction. These variations help the survival of the individuals.
Depending on the nature of variations, different individuals have different kinds of advantages.

→ Heredity: A process of transmission of characters generation after generation is called heredity. It is a process by which parental characters are transmitted to offsprings.

→ Dominant and recessive trait: A trait which expresses itself in the presence of its contrasting trait is termed as dominant trait whereas recessive trait remains unexpressed in presence of dominant one.

→ Trait: It is a distinguishing feature of a person’s character.

• In simple term, trait is the way in which the characters of an organism are expressed.
• Examples : Blond hair, blue eyes, attached earlobes, tallness, etc.

→ Factor: The unit, which is responsible for the heredity or regulating the expressions of a character is called a factor.

• The factors responsible for an expression of a trait are always in a pair.
• The factor as suggested by Mendel, is now known as gene in the modern genetics.
• The factor (gene) is represented by the English alphabet.

→ Gregor Johann Mendel: He conducted a series of experiments on garden pea plant (Pisum sativum) in order to study heredity.
The results of the Mendel’s experiments explain the mechanism of inheritance.

→ Gene : A section of DNA (nucleotide sequence) that provides information for the synthesis of a specific protein is called gene.

→ Sex determination: The phenomenon of determining the sex of an individual of a species is called sex determination.

• There are different strategies e.g., temperature, chromosomes, genes, hormones, etc. responsible for determining the sex in certain animals.
• In certain animals, the sex determination is not genetically determined, e.g., the Snails can change their sex.
• In human beings in each cell there are 22 pairs of autosomes and 1 pair of sex chromosomes. The 23rd pair is either XX as in females or XY as in males.

→ Genetic drift: A change in the frequency of some genes in a population which provides diversity without any survival advantage is called genetic drift.

→ Evolution: A process of slow, gradual and progressive changes by which complex form of organisms are produced from simple form of organisms over a long period of time is called evolution.

→ Charles Darwin conducted various experiments that led him to formulate the theory of natural selection which states that evolution proceeds due to natural selection.

→ Acquired trait: The characteristics of the organisms, which develop as an interaction with the environment and which are not hereditary are called acquired characteristics or traits, e.g., weight loss achieved by dieting.

→ Inherited trait: The characteristic of the organism, that comes into existence by the changes in DNA structure is called an inherited trait, e.g., skin colour, eye colour, colour of flower, height of plant, etc.

→ Speciation: The phenomenon of origin of a new species from the pre-existing one due to reproductive isolation of a part of its population is called speciation.

→ Speciation is caused due to genetic drift, natural selection, geographical and reproductive isolation.

→ Gene flow: The transfer of genes or alleles between inbreeding population of a particular species is called gene flow.

→ Evidences of evolution:

Homologous Organs	Analogous Organs	Fossils
Structurally similar but may be different functionally.	Basically different in structure and appear similar in their look and also in the function.	Organs preserved in the earth crust and obtained therefrom as samples or impressions
Example : Forelimbs of wall lizard and forelimbs of human being	Example : Wings of birds and wings of bats	Example : Ammonites, Trilobites

• Evolution can be studied with the help of living species and fossils.
• Evolutionary relationships are traced in the classification of organisms.
• Organs or features may be adapted to new functions during course of evolution, e.g., feathers have been initially evolved for. warmth and later adopted for flight.

→ Evolution through artificial selection: Farmers have obtained newer varieties of cabbage from the wild variety of cabbage by artificial selection. Cauliflower, Broccoli, Kohlrabi and Kale species are apparently different from their wild ancestral cabbage.

→ Human evolution: Study of the evolution of human beings indicates that all of us belong to a single species Homo sapiens. Our genetic footprints can be traced back to our African roots.

Jharkhand Board JAC Class 10 Science Important Questions Chapter 2 Acids, Bases and Salts Important Questions and Answers.

JAC Board Class 10 Science Important Questions Chapter 2 Acids, Bases and Salts

Additional Questions and Answers

Question 1.
Answer the following questions:
(1) How are acids and bases formed and from what?
Answer:
The reaction of oxides of non-metal with water forms an acid.

In short, Oxide of non-metal + Water → Acid
The reaction of oxides of metal with water forms a base.

In short, Oxide of metal + Water → Base

(2) Explain : Strong acid and weak acid
Answer:
Strong acid: The mineral acids like hydrochloric acid (HCl), sulphuric acid (H₂SO₄) and nitric acid
(HNO₃) when dissolved in water, they get completely ionised.
The acid which gets ionised completely when dissolved in water is known as strong acid.
For example,

Thus, in 1 M HCl aqueous solution, concentrations of H₃O⁺ and Cl- are 1M.

Thus, in 1 M H₂SO₄ aqueous solution, concentration of H₃O⁺ and SO₄^2- are 2M and 1M respectively, because two moles HsO⁺ are formed by ionisation of one mole H₂SO₄.

In the aqueous solution of strong acid, total solute substance is in the form of ions, i.e., the solute substance is ionised to H₃O⁺.

Weak acid: The organic acids like acetic acid (in vinegar), lactic acid (in curd, buttermilk), citric acid (in lemon, orange), tartaric acid (in tamarind), oxalic acid (in tomato) when dissolved S in water they get partially ionised.

The acid which gets ionised partially or incompletely when dissolved in water is known as weak acid.
For example, The concentration of H₃O⁺ is not 1M in 1M CH₃COOH aqueous solution but it is very less, (approximately 2 to 3 %).

(3) Explain: Strong acid and weak base
Answer:
Strong base:The base which is ionised ) completely when dissolved in water is called strong base. For example, sodium hydroxide (NaOH), potassium hydroxide (KOH).

In an aqueous basic solution, total solute substance is in the form OH^– ions because of its complete ionisation, i.e., the total solute substance is ionised in the form of OH^–.
For example,

Thus, in 1M NaOH aqueous solution, the concentrations of Na⁺ and OH^– are 1M.

Thus, in 1 M Mg(OH)₂ aqueous solution, the concentrations of Mg²⁺ and OH^– are 1M and 2M respectively. Thus, by ionisation of lmole Mg(OH)₂, 2 moles OH^– are formed.

Weak base:
The base when dissolved in water is ionised or dissociated partially or incompletely is known as weak base. For example, ammonium hydroxide (NH₄OH).

In the aqueous solution of weak base, very less amount (approximately 2 to 3%) of solute is ionised to OH^–. For example, In aqueous solution of 1M NH₄OH, the concentration of OH^– is not 1M but it is very less than 1 M.

(4) Explain the chemical properties of acid.
Answer:
For the chemical reaction of acid, H⁺ s or H₃O⁺ present in its aqueous solution is responsible.

(i) Reaction of acid with metal : By the reaction of acid with metal, a salt of corresponding metal and dihydrogen gas are produced.
For example,

In short,
Acid + Metal → Salt of metal + Dihydrogen gas

(ii) Reaction of acid with base : Salt and water are formed by the reaction of acid with base. This reaction is called neutralisation reaction.

In short, Acid + Base → Salt + Water

(iii) Reaction of acid with metal oxide: The reaction of acid with metal oxide forms salt and water. For example,

In short, Acid + Metal oxide → Salt + Water

(iv) Reaction of acid with metal carbonate or metal hydrogencarbonate: Most of the acids produce salt, water and carbon dioxide by reaction with metal carbonate or metal hydrogencarbonate.
For example,

In short, Acid + Metal carbonate / Metal hydrogencarbonate → Salt + Water + CO₂(g)

(5) Explain chemical properties of base.
Answer:
For a chemical reaction of base, OH^– present in its aqueous solution is responsible.

(i) Reaction of base with acid : Reaction of a base with an acid forms salt and water. This reaction is called neutralisation.
For example,

• NaOH(aq) + HCl(aq) → NaCl(aq) + H₂O(l)
• 2KOH(aq) + H₂SO₄(aq) → K₂SO₄(aq) + 2H₂O(l)

In short, Base + Acid → Salt + Water

(ii) Reaction of base with non-metal oxide : Reaction of base with oxides of non-metal forms salt and water.
For example,

In short,
Base + Oxide of non-metal → Salt + Water

(iii) Reaction of a base with some metals : By the reaction of a strong base like sodium hydroxide and potassium hydroxide with certain amphoteric metals (Zn, Al) gives salt and hydrogen gas.
For example,

(6) “The aqueous solution of the salt produced by neutralisation of weak acid and strong base possesses basic nature, while aqueous solution of salt produced by neutralisation of weak base and strong acid possesses acidic nature.” Explain.
Answer:

Hence, salt Na₂CO₃ is formed by the reaction of strong base and weak acid and its aqueous solution contains higher concentration of OH^– ions than the concentration of H⁺ ions. Therefore, solution possesses basic nature.

Here, salt NH₄Cl is formed by the reaction of strong acid and weak base, and its aqueous solution contains higher concentration of H⁺(aq) ions than the concentration of OH^–(aq) ions. Therefore solution possesses acidic nature.

(7) What is meant chemically by baking soda and baking powder? What happens if baking soda instead of baking powder is added, in making cake?
Answer:
Sodium hydrogencarbonate (NaHCO₃) is a baking soda, while baking powder is a mixture of NaHCO₃ and tartaric acid. For making cake, if only baking soda is used, then, on heating it produces sodium carbonate and the cake will taste bitter. To avoid this, appropriate amount of tartaric acid is added. Baking soda forms sodium salt of an acid which does not affect the taste of cake.

(8) Compare the acidity of two different acidic solutions A and B having different pH values.
Answer:
The comparison of two different acidic solutions A and B is shown in the table below:

(Thus, it can be said from the above table that if the difference in pH of two acidic aqueous solutions is x, then solution having less pH will possess H₃O⁺ concentration 10^x times or antilog x times more acidic.)

Question 2.
Give scientific reasons for the following statements:
(1) An aqueous solution of FeCl₃ is acidic.
Answer:
FeCl₃ is a salt; when it is dissolved in water, it forms strong acid (HCl) and weak base (Fe(OH)₃). Hence, concentration of H⁺ (aq) s ions is more than the concentration of OH^– ions? in the solution. Therefore solution shows acidic behaviour. As a result, an aqueous solution of FeCl₃ is acidic in nature.

(2) An aqueous solution of CH₃COONa is basic.
Answer:
CH₃COONa is a salt, which produces l strong base (NaOH) and weak acid (CH₃COOH) in water. Hence, concentration of OH^–(aq) is more in comparison with the concentration of H⁺(aq) s in the solution and hence solution shows basic behaviour. As a result, an aqueous solution of CH₃COONa is basic in nature.

(3) An aqueous solution of NaCl is neutral.
Answer:
NaCl is a salt and it produces strong acid (HCl) and strong base (NaOH) in water. Hence, concentration of H⁺(aq) ions and concentration of OH^–(aq) ions are equal in the solution and solution shows neutral behaviour. Therefore an aqueous solution of NaCl is neutral.

(4) Curd and sour substances should not be kept in brass and copper vessels.
Answer:
Curd and sour substances are acidic in nature, which react with brass and copper vessels and form toxic substances; which are harmful to the human body. Therefore, curd and other sour substances should not be kept in brass and copper vessels

(5) Distilled water does not conduct electricity, while rain water does it. Explain.
Answer:
Distilled water is a pure water and it does not contain ions while rain water contains impurities like acid, which provides ions and they help in carrying electricity.

Question 3.
Solve the following numericals :
(1) Calculate the concentration of OH^– ion in an aqueous solution having pH value 8.
Solution:
pH + pOH = 14
∴ pOH = 14 – pH = 14 – 8 = 6
Now, pOH = – log₁₀ [OH^–]
∴ log₁₀[OH^–] = – pOH
∴ [OH^–] = Antilog – pOH
= Antilog – 6.0
= 1 x 10^-6M

(2) Calculate the molarity of an aqueous solution prepared by dissolving 2 mol of HC1 in water to form 500 mL solution.
Solution:
Molarity (M) = \(\frac { mole }{ litre }\)
= \(\frac { 2 }{ 0.5 }\)
= 4 M

(3) Calculate the pH of 0.01 M HCl solution.
Solution:
HCl is a strong acid, hence it ionises completely.

∴ [H⁺(aq)] = 0.01 M = 1 x 10^-2M
Now, pH = – log₁₀ [H⁺(aq)]
pH = – log₁₀ [1 x 10^-2]
= – [2.0000]
∴ pH = 2

(4) 50 mL KOH solution neutralise completely 5 mL HNOa solution. What volume of HNOs is required for complete neutralisation of 15 mL of KOH solution?
Solution:
50 mL KOH solution neutralise 5 mL HNO₃ solution
∴ 15mLKOH solution will neutralise,
\(\frac { 15×5 }{ 0.5 }\) = 1.5 mL HNO₃ solution.

(5) How many times would be an aqueous solution of pH = 2 be more acidic than aqueous solution of pH = 4?
Solution:
For solution having pH = 4,
PH = – log₁₀[H₃O⁺ ]
∴ – log₁₀[H₃O⁺] = 4
∴ log₁₀[H₃O⁺] = – 4
∴ [H₃O⁺] = 10^-4M
Similarly, [H₃O⁺] for solution having pH = 2 = 10^-2M.
Now,

Thus, the concentration of [H₃O⁺] in concentrated solution of pH = 2 will be 100 times more than that of pH = 4, i.e., it will be 100 times more acidic.

(6) How many times would be concentrated aqueous solution having pH = 11.9 be more basic as compared to aqueous solution having pH = 8?
Solution:
pOH of basic aqueous solution having pH = 8 will be 14-8 = 6.
∴ [OH^–] = 1 x 10^-6M
Similarly, pOH of basic aqueous solution having pH 11.9 will be 14 – 11.9 = 2.1.
Now, pOH = – log₁₀[OH^–]
2.1 = – log₁₀ [OH^–]
– (2.1) = log₁₀[OH^–]
∴ log₁₀[OH^–] = \(\overline{3}\).9
∴ [OH^–] = antilog \(\overline{3}\).9000
= 7.943 x 10^-3 M
Now,

Thus, the solution having pH 11.9 will have 7943 times more basicity than solution having pH 8.

Objective Questions and Answers

Question 1.
Answer the following questions in short:
(1) What is the difference of water molecules between gypsum and plaster of paris?
Answer:
There are two molecules of water in gypsum. Plaster of paris contain \(\frac { 1 }{ 2 }\) (half) molecule of water. Thus, the difference of water molecules = 2 – \(\frac { 1 }{ 2 }\) = 1.5 molecules.

(2) What is soda lime? State the importance of lime in it.
Answer:
Mixture of caustic soda (NaOH) and lime (CaO) is called soda lime. In soda lime, lime is useful to absorb moisture during reaction.

(3) How does the soda-acid fire-extinguisher extinguish the fire?
Answer:
Soda-acid fire-extinguisher extinguishes the fire by stopping the contact of air.

(4) Write a balanced chemical equation for the reaction that occurs during chlor-alkali reaction.
Answer:
2NaCl(aq) + 2H₂O(l) → 2NaOH(aq) + Cl₂(g) + H₂(g)

(5) Arrange the water, hydrochloric acid and acetic acid in descending order of their acidity.
Answer:
Descending order of acidity:
Hydrochloric acid > Acetic acid > Water

(6) What is meant by dilution?
Answer:
Mixing of an acid or base with water results in decrease in concentration of acid or base or ions per unit volume. This process is called dilution.

(7) Write the name and molecular formula of product obtained by the reaction of zinc with sodium hydroxide.
Answer:
Sodium zincate – Na₂ZnO₂.

(8) What are properties of the oxides of metal and non-metal usually?
Answer:
The oxides of metallic elements are basic, while oxides of non-metals are acidic.

(9) Which acid is formed when milk turns into curd?
Answer:
During the formation of curd from milk, lactic acid is formed.

(10) Which ions are responsible for acidic and basic properties of the solution?
Answer:
H⁺(aq) ions in solution are responsible for acidic properties and OH^–aq) ions in solution S are responsible for basic properties of the solution.

(11) Does the solution of urea conduct electricity? Why?
Answer:
The solution of urea does not conduct electricity, because urea does not possess ions in solution.

(12) Give two examples of strong alkali (base).
Answer:
NaOH and KOH

(13) State the nature of saliva before and after the meal.
Answer:
The nature of saliva before meal is basic s but after meal it becomes acidic.

(14) What is an acid rain?
Answer:
When the pH of rain water is less than 5.6, it is called an acid rain.

(15) What pH range is required to a soil for healthy growth and development of plants?
Answer:
The soil with pH in the range of 6.5 to 7.3 is appropriate for healthy growth and development of plants.

(16) Why does red ant bite (sting) cause pain and irritation?
Answer:
Red ant bite (sting) injects formic acid s in our body, which causes pain and irritation.

(17) Two solutions have pH value of 5 and 9 respectively. Which solution will be more basic in nature? Why?
Answer:
Solution with pH value 9 will be more basic, because the concentration of H⁺ ions in it is less or the concentration of OH^– ions is more.

Question 2.
Define :
(1) Olfactory indicator
Answer:
Substances, which changes their odour s (smell) in presence of an acid or a base are known as olfactory indicators.

(2) Neutralisation reaction
Answer:
The reaction between an acid and a base to give a salt and water is known as a neutralisation reaction.

(3) Dilution process
Answer:
The process in which mixing an acid or base with water results in decrease in the concentration of ions (H₃O⁺ or OH^–) per unit volume is called dilution process.

(4) pH scale
Answer:
A scale for measuring the concentration of hydrogen ions in a solution is called pH scale.

(5) Family of salts
Answer:
Salts having the same positive or negative radicals are called family of salts.

(6) Rock salt
Answer:
The solid deposits of salts dissolved in sea water in the form of large crystals which turn brown due to impurities are known as rock salt.

Question 3.
Fill in the blanks :

1. Neutralisation reaction occur between acid and base forms ………………. and ……………….
2. The pH value of acidic solution is lower than ……………….
3. An aqueous solution having pH value 4 is less ………………. than an aqueous solution having pH 2.
4. Milk of magnesia is used as ……………….
5. Molecular formula of gypsum is ……………….
6. Butter milk possesses ………………. character.
7. The farmers add ………………. to the acidic soil to neutralise it.
8. Litmus is a ………………. indicator.
9. MgO is a ………………. oxide.
10. Generally, ………………. paper is used with universal indicator to measure the pH value of the solution.
11. The atmosphere of ………………. planet is made-up of thick white and yellowish clouds of sulphuric acid.
12. The stinging hair of nettle leaves injects ………………. into the skin causing burning pain.

Answer:

1. salt, water
2. 7
3. acidic
4. an antacid
5. CaSO₄.2H₂O
6. acidic
7. lime (CaO)
8. natural
9. basic
10. impregnated
11. venus
12. methanoic acid

Question 4.
State whether the following statements true or false:

1. The molecular formula of sodium zincate is Na₂Zn(OH)₄.
2. An aqueous solution of washing soda possesses acidic nature.
3. Bacteria present in the mouth produce base by degradation of food particles left in the mouth after eating.
4. The pH value of the blood is greater than 7.
5. Orange contains citric acid.
6. OH^–(aq) ions in the solution are responsible for chemical reaction of base.
7. Phenolphthalein is a natural indicator.
8. Ca(HCO₃)₂ is soluble in water.
9. Cl₂O₇ is a basic oxide.
10. Solutions of glucose and alcohol do not conduct electricity.
11. Hydrogen ions are formed in HCl in presence of water.
12. Dissolution of acids and bases in water is an endothermic reaction.
13. The p in pH stands for ‘potenz’ in German.
14. Salts of strong acids and strong bases are neutral with pH value 7.
15. Baking soda is used for faster cooking.

Answer:

1. False
2. False
3. False
4. True
5. True
6. True
7. False
8. True
9. False
10. True
11. True
12. False
13. True
14. True
15. True

Question 5.
Choose the correct option from those given below each question:
1. When does tooth decay occur?
A. When the pH of inner part of mouth is lower than 5.5.
B. When the pH of inner part of mouth is higher than 5.5.
C. When the pH of inner part of mouth is 5.5.
D. When the pH of inner part of mouth is 7.0.
Answer:
A. When the pH of inner part of mouth is lower than 5.5.

2. Which of the following solution is most basic?
A. pH = 8.2
B. pH = 9.3
C. pH = 11.5
D. pH = 10.6
Answer:
C. pH = 11.5
Hint: For acidic solution, pH < 7 and pOH > 7.
For basic solution, pH > 7 and pOH < 7.

3. What is the pH value of an aqueous solution of NH₄CI?
A. pH = 7
B. pH > 7
C. pH < 7
D. pH = 0
Answer:
C. pH < 7
Hint: An aqueous solution of NH₄Cl is acidic. Hence, its pH < 7.

4. Which of the following is a strong acid?
A. Acetic acid
B. Citrus acid
C. Oxalic acid
D. Nitric acid
Answer:
D. Nitric acid

5. The pH values of aqueous solutions A, B, C and D are 1.9, 2.5, 2.1 and 3.0 respectively; then what will be the correct order of their acidic strength?
A. A < C < B < D
B. D < C < B < A
C. D < B < C < A
D. D > C > B > A
Answer:
D. D > C > B > A
Hint : Aqueous solution with lower pH value is more acidic.

6. Which of the following solutions is neutral?
A. Juice of citrus fruits
B. Lemon juice
C. Solution of washing soda
D. An aqueous solution of salt – NaCl
Answer:
D. An aqueous solution of salt – NaCl

7. What will be the value of pH, if blue litmus paper turns red in aqueous solution?
A. Between 0 to 7
B. Between 7 to 14
C. 14
D. 0
Answer:
A. Between 0 to 7

8. The outer layer of the teeth is made-up of…
A. Calcium phosphate
B. Calcium nitrate
C. Potassium phosphate
D. Sodium phosphate
Answer:
A. Calcium phosphate

9. The pH of aqueous solution(s) of which salt is 7?
A. Na₂CO₃
B. CH₃COONa
C. NH₄Cl
D. KNO₃
Answer:
D. KNO₃
Hint: Since KNOs is a salt of strong acid and strong base.

10. CaCl₂ + X → CaSO₄ + 2NaCl, what is X?
A. Na₂SO₄
B. CaSO₃
C. Na₂SO₃
D. CaSO₂
Answer:
A. Na₂SO₄

11. Which of the following pair is not appropriate?
A. Citrus fruits – citric acid
B. Curd – lactic acid
C. Sting of red ant – methanoic acid
D. Tomatoes – tartaric acid
Answer:
Tomatoes – tartaric acid
Hint: Tomatoes contains citric acid.

12. Which of the following aqueous solutions contains higher proportion of OH^– ions?
A. NaCl
B. Na₂SO₄
C. CH₃COONa
D. Equal in all
Answer:
CH₃COONa
Hint:Due to weak acid (CH₃COOH) and strong base (NaOH) forms in an aqueous solution of CH₃COONa.

13. Which of the following substance does not produce carbon dioxide, when it is treated with dilute acid?
A. Marble
B. Lime stone
C. Lime
D. Baking soda
Answer:
C. Lime

Question 6.
Match the following:
(1)

Column I	Column II
1. Strong acid	p. NaOH
2. Strong base	q. HNO3
3. Salt	r. NaCl
4. Amphoteric	s. H2O

Answer:
(1 – q), (2 – p), (3 – r), (4 – s).

(2)

Column I	Column II
1. Sodium carbonate	p. NaNO3
2. Sodium bicarbonate	q NaNO2
3. Sodium nitrate	r. Na2CO3
4. Sodium nitrite	s. NaHCO3

Answer:
(1 – r), (2 – s), (3 – p), (4 – q).

(3)

Column I	Column II
1. Melittin	p. Alkaline soil
2. Calcium phosphate	q. Baking soda
3. The value of pH is more than 7.3	r. A polypeptide containing 26 amino acids
4. Antacid	s. Outer layer of teeth

Answer:
(1 – r), (2 – s), (3 – p), (4 – q).

Question 7.
Answer the following questions in one word:

1. State the chemical formula of caustic potash.
2. Write the composition of aqua regia.
3. Write the molecular formula of soda ash.
4. Which substance reacts with chlorine to form bleaching powder?
5. Which acid is present in orange?
6. State the pH value of human blood.
7. At normal temperature, substance kept in atmosphere loses the water of crystallisation. By which name the substance is known?
8. Name the reaction in which base is added in acid.
9. What is called a base which is soluble in water?
10. State the chemical name of salt which is useful and important raw material of food.

Answer:

1. KOH
2. 1 part concentrated HNO₃ + 3 parts concentrated HCl
3. Na₂CO₃
4. Ca(OH)₂
5. Ascorbic acid
6. 7.36 to 7.42 (about 7.4)
7. Hydrated salt
8. Neutralisation reaction
9. Alkali
10. Sodium chloride

Question 8.
Complete the following reactions :

1. CaO(s) + H₂O(l) →
2. 2HNO₃(aq) + Ca(OH)₂(aq) →
3. 2HNO₃(aq) + CaO(s) →
4. HCl(aq) + NaHCO₃(aq) →
5. 2NaOH(aq) + H₂CO₃(aq) →
6. CH₃COOH(aq) + NaOH(aq) →
7. HNO₃(aq) + KOH(aq) →
8. BaCl₂(aq) + H₂SO₄(aq) →

Answer:

1. Ca(OH)₂(aq)
2. Ca(NOs)₂(aq) + 2H₂O(l)
3. Ca(NO₃)₂(aq) + H₂O(l)
4. NaCl(aq) + H₂O(l) + CO₂(g)
5. Na₂CO₃(aq) + 2H₂O(l)
6. CH₃COONa(aq) + H₂O(l)
7. KNO₃(aq) + H₂O(l)
8. BaSO₄(s) + 2HCl(aq)

Value Based Questions With Answers

Question 1.
Ramesh’s father is a farmer and he is disappointed as he cannot grow any crop on his farmland, because the land has become highly basic in nature. It happens due to paper industry nearby dumping its waste water into canals; that supply water to the farmland.

Ramesh and other youth in the village told the owner of the paper industry about the pollution caused by the paper industry.

• What type of land is suitable for the growth of crops?
• Use of fertilizers also causes change in the pH of soil. How do farmers overcome this problem?
• What values of Ramesh are reflected in the above case?

Answer:

• The farmland should neither be acidic nor basic, it should be neutral for the growth of crops.
• If the soil is acidic then compounds like lime should be added to the soil to neutralise it. If the soil is basic, then the acidic salt is added to neutralise it.
• Ramesh showed the values of aware citizen and group work.

Question 2.
Rita’s mother had severe pain when a honeybee stung her on hand. Rita’s grandmother tried to relieve the pain by rubbing a iron metal on the affected area. But, Rita took the baking powder from the kitchen and applied on her mother’s hand which quickly relieved the pain.

• Why do honeybee stinging causes pain?
• How does baking powder relieve the beesting pain?
• What values of Rita is seen in the above act?

Answer:

• Honeybee sting releases an acid that is injected in body and causes pain.
• Baking powder is basic in nature, it neutralised the acid released in the body by bee-sting and relieves the pain.
• Rita showed the values of prompt, proactive and responsible behaviour.

Question 3.
Bharat’s friend Jaydeep is very fond of coffee. He drinks two cups of coffee everyday in the school and complain the problem of stomach pain very often. Bharat advised him not to drink coffee in the morning.

• What was the cause of stomach pain?
• What would be the pH of stomach juices after consuming coffee?
• What values of Bharat are reflected in the above act?

Answer:

• Two cups of coffee (excess) causes acidity which results into stomach pain.
• The pH of stomach after consuming coffee is 5.
• Bharat showed the values of concern, caring and awareness.

Question 4.
Ashish noticed that his friend always brought sweets in his lunch-box, due to which his tooth decayed. Ashish suggested his friend to eat less sweets in school hours to avoid tooth? decay.

• Why do tooth decay on eating sweets?
• What is the pH of mouth after eating sweets?
• What value of Ashish is seen in the above act?

Answer:

• On eating sweets, the particles of sweets get stuck in the teeth. On the sweet particles bacteria grows and produces acid. This acid causes tooth decay.
• The pH of the mouth after eating sweets lowers and remains in the range of 2 to 6.
• Ashish showed sincerity, responsibility and? care for others.

Practical Skill Based Questions With Answers

Question 1.
In the laboratory, a test tube rack is placed with test tubes containing some acids in it. How will you classify these acids?
Answer:
To classify the acids, we should test their pH and group them as strong or weak acids.

Question 2.
What is the pH of water? Does it change on heating the water? Why?
Answer:
Generally, the pH of pure water is 7 at 25 °C temperature. On heating water, the pH value will change, it decreases, because on heating water molecules will ionise more and as a result concentration of H⁺ ions and OH^– ions increase, which results in decreasing pH. But water remains neutral.

Question 3.
A test was conducted in the laboratory to find the pH of different cold drinks. Draw the observation table to collect the data for this experiment and predict the result for the same.
Answer:
Observation table of collected data :

Sr. No.	pH of drink-1	pH of drink-2	pH of drink-3	pH of drink-4
1.
2.
3.

Prediction:
The pH of the dark cold drink will be higher, as it contains more caffeine which is more acidic and the cold drink which releases more bubbles on opening is highly acidic and will have low pH as the carbonated water is present in it.

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